1. (3,4 pontos) Um calor de 21,00 joules é adicionado, a volume constante, a um gás ideal cujas moléculas são poliatômicas. A pressão variou de 1,00 para 1,35atm.
a) (1,0 pontos) Qual o calor específico a volume constante? Qual o calor específico a pressão constante? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Foi adicionado calor Q = 21{,}00\\ \text{J} a volume constante.
  • O gás é ideal e tem moléculas poliatômicas.
  • A pressão variou de 1{,}00\\ \text{atm} para 1{,}35\\ \text{atm}.
O enunciado pergunta:
  • Qual o calor específico a volume constante?
  • Qual o calor específico a pressão constante?
    Não há no enunciado a quantidade de mols nem o volume, nem se por “calor específico” se entende por mol ou por massa. Vou interpretar “calor específico” aqui como calor molar específico (ou capacidade térmica molar), que é o padrão em problemas de termodinâmica de gases ideais. Se o professor quiser por massa, a ideia é análoga dividindo pela massa molar.

Passo 2

Relembrando a primeira lei da termodinâmica e o caso a volume constante:
  • A primeira lei diz \delta Q = dU + \delta W.
  • Para um processo a volume constante vale \delta W = P\,dV = 0. Logo todo o calor entra como variação da energia interna:
\delta Q = dU \quad\text{(processo a volume constante).}
  • Para um gás ideal a variação da energia interna depende só da temperatura e, por mol, tem a forma (teorema da equipartição):
U = n\frac{f}{2}R T,
onde:
  • n é o número de mols,
  • f é o número de graus de liberdade por molécula (inteiro: por exemplo f=3 para monoatômico, f\approx5 para diatômico a temperaturas moderadas, f=6 para moléculas poli-atômicas não lineares),
  • R é a constante universal dos gases, R \approx 8{,}314\\ \text{J}\,\text{mol}^{-1}\,\text{K}^{-1},
  • T é a temperatura absoluta.

Passo 3

Definição e obtenção do calor específico a volume constante ( c_V):
  • O calor molar a volume constante é definido por
c_V = \left(\frac{1}{n}\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V.
  • Usando U = n\frac{f}{2}R T obtemos, derivando em relação a T:
\left(\frac{1}{n}\frac{dU}{dT}\right) = \frac{f}{2}R.
  • Portanto, o calor molar específico a volume constante é
c_V = \frac{f}{2}R.
Explicação intuitiva: pela equipartição, cada grau de liberdade contribui com \tfrac{1}{2}R ao calor molar a volume constante; para f graus isso dá \tfrac{f}{2}R.

Passo 4

Obtenção do calor específico a pressão constante ( c_P) — relação de Mayer:
  • A relação de Mayer para gases ideais dá a diferença entre as capacidades molares:
c_P - c_V = R.
Justificativa curta: a 1 mol de gás, num aquecimento isotérmico a pressão constante, parte do calor aumenta a energia interna ( c_V parte) e parte é usada para trabalho P\Delta V que, pela equação de estado, equivale a R\Delta T. Assim, por mol,
c_P = c_V + R.
  • Substituindo c_V achado em

Passo 5

c_P = \frac{f}{2}R + R = \frac{f+2}{2}R.

Passo 6

Observações práticas e exemplos numéricos (para intuir valores):
  • O enunciado apenas disse “poliatômicas” sem distinguir linear ou não-linear. Para poliatômicas comuns:
    • Se a molécula for não linear costuma ter f=6, então
    c_V = 3R \approx 3\cdot 8{,}314 \approx 24{,}94\\ \text{J}\,\text{mol}^{-1}\,\text{K}^{-1},
c_P = 5R \approx 5\cdot 8{,}314 \approx 41{,}57\\ \text{J}\,\text{mol}^{-1}\,\text{K}^{-1}.
  • Se a molécula for linear típica (algumas poliatômicas lineares), f=5, então
c_V = \tfrac{5}{2}R \approx 20{,}79\\ \text{J}\,\text{mol}^{-1}\,\text{K}^{-1},
c_P = \tfrac{7}{2}R \approx 29{,}10\\ \text{J}\,\text{mol}^{-1}\,\text{K}^{-1}.
  • Importante: a informação numérica Q=21{,}00\\ \text{J} e a variação de pressão permitem calcular uma variação de temperatura \Delta T e, se soubéssemos n (ou o volume), obteríamos valores numéricos de c_V por c_V = Q/(n\Delta T). Como n (ou V) não foi dado, não é possível extrair c_V numérico a partir de Q sem essa informação. Por isso a resposta natural e completa é fornecer as fórmulas gerais em função de f.

Resposta

c_V = \dfrac{f}{2}R
c_P = \dfrac{f+2}{2}R

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