- (3,4 pontos) Um calor de 21,00 joules é adicionado, a volume constante, a um gás ideal cujas moléculas são poliatômicas. A pressão variou de 1,00 para 1,35atm.
a) (1,0 pontos) Qual o calor específico a volume constante? Qual o calor específico a pressão constante? Justifique.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Foi adicionado calor
a volume constante. - O gás é ideal e tem moléculas poliatômicas.
- A pressão variou de
para .
O enunciado pergunta:
- Qual o calor específico a volume constante?
- Qual o calor específico a pressão constante?
Não há no enunciado a quantidade de mols nem o volume, nem se por “calor específico” se entende por mol ou por massa. Vou interpretar “calor específico” aqui como calor molar específico (ou capacidade térmica molar), que é o padrão em problemas de termodinâmica de gases ideais. Se o professor quiser por massa, a ideia é análoga dividindo pela massa molar.
Passo 2
Relembrando a primeira lei da termodinâmica e o caso a volume constante:
- A primeira lei diz
. - Para um processo a volume constante vale
. Logo todo o calor entra como variação da energia interna:
- Para um gás ideal a variação da energia interna depende só da temperatura e, por mol, tem a forma (teorema da equipartição):
onde:
-
é o número de mols, -
é o número de graus de liberdade por molécula (inteiro: por exemplo para monoatômico, para diatômico a temperaturas moderadas, para moléculas poli-atômicas não lineares), -
é a constante universal dos gases, , -
é a temperatura absoluta.
Passo 3
Definição e obtenção do calor específico a volume constante (
):
- O calor molar a volume constante é definido por
- Usando
obtemos, derivando em relação a :
- Portanto, o calor molar específico a volume constante é
Explicação intuitiva: pela equipartição, cada grau de liberdade contribui com
ao calor molar a volume constante; para
graus isso dá
.
Passo 4
Obtenção do calor específico a pressão constante (
) — relação de Mayer:
- A relação de Mayer para gases ideais dá a diferença entre as capacidades molares:
Justificativa curta: a
mol de gás, num aquecimento isotérmico a pressão constante, parte do calor aumenta a energia interna (
parte) e parte é usada para trabalho
que, pela equação de estado, equivale a
. Assim, por mol,
- Substituindo
achado em
Passo 5
Passo 6
Observações práticas e exemplos numéricos (para intuir valores):
- O enunciado apenas disse “poliatômicas” sem distinguir linear ou não-linear. Para poliatômicas comuns:
- Se a molécula for não linear costuma ter
, então
- Se a molécula for não linear costuma ter
- Se a molécula for linear típica (algumas poliatômicas lineares),
, então
- Importante: a informação numérica
e a variação de pressão permitem calcular uma variação de temperatura e, se soubéssemos (ou o volume), obteríamos valores numéricos de por . Como (ou ) não foi dado, não é possível extrair numérico a partir de sem essa informação. Por isso a resposta natural e completa é fornecer as fórmulas gerais em função de .