Use o Teorema de Gauss para demonstrar que o volume de um cone de área da base
e altura
é dado por
. (Sugestão: considere
)
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar que o volume de um cone de área da base
e altura
é
Foi sugerido usar o campo vetorial
. Vou considerar um cone cuja base é uma região plana qualquer contida no plano
e cujo vértice (ápice) está na origem
. O sólido
é então o conjunto de pontos entre a origem e essa base; a superfície fechada
é composta pela base (plano
) mais a superfície lateral formada por segmentos que ligam a origem a cada ponto da base. Não há outras hipóteses (a base pode ter forma qualquer, desde que esteja em
e tenha área
).
Passo 2
Vou usar o Teorema de Gauss (ou Divergência): para um campo vetorial suficientemente suave
e um volume
com fronteira
orientada para fora,
onde
é o vetor normal unitário exterior à superfície. Primeiro calculo a divergência de
:
Portanto, integrando sobre
,
Pelo Teorema de Gauss, esse triplo integral é igual ao fluxo de
pela superfície fechada
:
Passo 3
Agora calculo o fluxo pela superfície fechada
. A superfície tem duas partes: a base (denotada
) no plano
e a superfície lateral (denotada
). Então
Calculo o fluxo através da base
. A base está no plano
; o vetor normal exterior aponta para cima (no sentido positivo de
), isto é
. Em todo ponto da base temos
. Então
Como
é constante sobre a base,
Note que aqui usei diretamente a informação dada no enunciado: a área da base é
.
Passo 4
Agora mostro que o fluxo através da superfície lateral
é zero. A superfície lateral do cone é formada por segmentos de reta que vão da origem a cada ponto
da base. Em qualquer ponto
da superfície lateral, o vetor posição
é colinear com a direção do gerador (o segmento que liga a origem a
). Isso significa que a direção do gerador é um vetor tangente à superfície lateral. Como a normal
da superfície é ortogonal ao plano tangente, temos que
é ortogonal a
. Mas
. Portanto, em toda a superfície lateral
Consequentemente,
(Se preferir ver isso parametricamente: para cada ponto da base
a geratriz é
com
; a derivada em
é proporcional a
, que é tangente à superfície lateral, logo
— e portanto
— está no plano tangente e é ortogonal à normal.)
Passo 5
Somando as contribuições da base e da lateral temos o fluxo total:
Pelo passo 2 esse fluxo vale
. Assim
Resolvendo para
,