Use o Teorema de Gauss para demonstrar que o volume de um cone de área da base A e altura h é dado por V=\frac{1}{3} A h. (Sugestão: considere \vec{F}(x, y, z)=x \vec{i}+y \vec{j}+z \vec{k} )

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar que o volume de um cone de área da base A e altura h é
V=\frac{1}{3}A h.
Foi sugerido usar o campo vetorial \vec{F}(x,y,z)=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}. Vou considerar um cone cuja base é uma região plana qualquer contida no plano z=h e cujo vértice (ápice) está na origem (0,0,0). O sólido V é então o conjunto de pontos entre a origem e essa base; a superfície fechada \partial V é composta pela base (plano z=h) mais a superfície lateral formada por segmentos que ligam a origem a cada ponto da base. Não há outras hipóteses (a base pode ter forma qualquer, desde que esteja em z=h e tenha área A).

Passo 2

Vou usar o Teorema de Gauss (ou Divergência): para um campo vetorial suficientemente suave \vec{F} e um volume V com fronteira \partial V orientada para fora,
\iiint_{V}(\nabla\cdot\vec{F})\,dV=\iint_{\partial V}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS,
onde \vec{n} é o vetor normal unitário exterior à superfície. Primeiro calculo a divergência de \vec{F}:
\nabla\cdot\vec{F}=\frac{\partial}{\partial x}x+\frac{\partial}{\partial y}y+\frac{\partial}{\partial z}z=1+1+1=3.
Portanto, integrando sobre V,
\iiint_{V}(\nabla\cdot\vec{F})\,dV=\iiint_{V} 3\,dV = 3\cdot \mathrm{Vol}(V)=3V.
Pelo Teorema de Gauss, esse triplo integral é igual ao fluxo de \vec{F} pela superfície fechada \partial V:
3V=\iint_{\partial V}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS.

Passo 3

Agora calculo o fluxo pela superfície fechada \partial V. A superfície tem duas partes: a base (denotada S_{\text{base}}) no plano z=h e a superfície lateral (denotada S_{\text{lat}}). Então
\iint_{\partial V}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS=\iint_{S_{\text{base}}}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS+\iint_{S_{\text{lat}}}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS.
Calculo o fluxo através da base S_{\text{base}}. A base está no plano z=h; o vetor normal exterior aponta para cima (no sentido positivo de z), isto é \vec{n}=\vec{k}. Em todo ponto da base temos \vec{F}=(x,y,h). Então
\vec{F}\cdot\vec{n}=(x,y,h)\cdot(0,0,1)=h.
Como h é constante sobre a base,
\iint_{S_{\text{base}}}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS=\iint_{S_{\text{base}}} h\,dS = h\cdot (\text{área da base}) = hA.á
Note que aqui usei diretamente a informação dada no enunciado: a área da base é A.

Passo 4

Agora mostro que o fluxo através da superfície lateral S_{\text{lat}} é zero. A superfície lateral do cone é formada por segmentos de reta que vão da origem a cada ponto P da base. Em qualquer ponto P da superfície lateral, o vetor posição \vec{r}=(x,y,z) é colinear com a direção do gerador (o segmento que liga a origem a P). Isso significa que a direção do gerador é um vetor tangente à superfície lateral. Como a normal \vec{n} da superfície é ortogonal ao plano tangente, temos que \vec{r} é ortogonal a \vec{n}. Mas \vec{F}=\vec{r}. Portanto, em toda a superfície lateral
\vec{F}\cdot\vec{n}=\vec{r}\cdot\vec{n}=0.
Consequentemente,
\iint_{S_{\text{lat}}}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS=0.
(Se preferir ver isso parametricamente: para cada ponto da base Q a geratriz é tQ com 0\le t\le1; a derivada em t é proporcional a Q, que é tangente à superfície lateral, logo Q — e portanto \vec{r} — está no plano tangente e é ortogonal à normal.)

Passo 5

Somando as contribuições da base e da lateral temos o fluxo total:
\iint_{\partial V}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS = \iint_{S_{\text{base}}}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS + \iint_{S_{\text{lat}}}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS = hA + 0 = hA.
Pelo passo 2 esse fluxo vale 3V. Assim
3V = hA.
Resolvendo para V,
V=\frac{1}{3}A h.

Resposta

V=\dfrac{1}{3}A h

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