Um fio de raio a, ao longo do eixo z está envolto em uma casca cilíndrica de raio b formando um cabo coaxial. No fio há uma densidade de corrente uniforme \vec{J}=j \vec{k}, sendo J, k constantes positivas.
(a) Calcule o campo magnético B em todos os pontos do volume delimitada
Pela casca cilíndrica ( isto é, nos pontos 0 \leq \rho<b, onde \rho é a distância do O eixo z).
(b) Calcule o campo magnético no na região exterior da casca cilíndrica (\rho>b) .-

Passo 1

O enunciado descreve um fio cilíndrico de raio a que transporta uma densidade de corrente uniforme
\vec{J} = j\,\hat{k}
ao longo do eixo z. Esse fio está envolto por uma casca cilíndrica de raio externo b, mas não é dito que a casca carrega corrente. Queremos usar a Lei de Ampère para encontrar o campo magnético \vec{B} em função da distância radial \rho ao eixo, nas seguintes regiões:
0 \le \rho < a (dentro do fio)
a < \rho < b (entre fio e casca)
\rho > b (fora da casca)
A Lei de Ampère, para um caminho circular de raio \rho coaxial ao fio, diz
\oint \vec{B}\cdot d\vec{\ell} \;=\;\mu_{0}\,I_{\text{enc}},
onde I_{\text{enc}} é a corrente total contida no círculo de raio \rho.

Passo 2

Região 0 \le \rho < a.
Dentro do fio, a corrente encerrada por um círculo de raio \rho é a densidade vezes a área:
I_{\text{enc}}(\rho) \;=\;\underbrace{j}_{|\vec{J}|}\;\times\;\bigl(\pi\,\rho^{2}\bigr).
Aplicando Ampère em um contorno circular de comprimento 2\pi\rho com \vec{B} tangencial na direção \hat\varphi:
B(\rho)\,(2\pi\rho) \;=\;\mu_{0}\,j\,\pi\,\rho^{2} \quad\Longrightarrow\quad B(\rho) \;=\;\frac{\mu_{0}\,j\,\pi\,\rho^{2}}{2\pi\rho} \;=\;\frac{\mu_{0}\,j\,\rho}{2}.
Logo,
\boxed{\vec{B}(\rho)=\frac{\mu_{0}\,j\,\rho}{2}\,\hat\varphi, \quad 0\le\rho < a.}

Passo 3

Região a < \rho < b.
Aqui todo o fio de raio a está contido dentro do percurso de Ampère, mas não há corrente na casca. Assim
I_{\text{enc}} = j\,\pi\,a^{2},
constante. Pela Lei de Ampère:
B(\rho)\,(2\pi\rho) = \mu_{0}\,j\,\pi\,a^{2} \quad\Longrightarrow\quad B(\rho)=\frac{\mu_{0}\,j\,\pi\,a^{2}}{2\pi\rho} =\frac{\mu_{0}\,j\,a^{2}}{2\,\rho}.
Logo,
\boxed{\vec{B}(\rho)=\frac{\mu_{0}\,j\,a^{2}}{2\,\rho}\,\hat\varphi, \quad a<\rho<b.}

Passo 4

Região \rho > b.
Fora da casca não há corrente adicional, então a corrente encerrada continua j\,\pi\,a^{2}. Reaplicando Ampère:
B(\rho)\,(2\pi\rho) =\mu_{0}\,j\,\pi\,a^{2} \quad\Longrightarrow\quad B(\rho)=\frac{\mu_{0}\,j\,a^{2}}{2\,\rho}.
Portanto,
\boxed{\vec{B}(\rho)=\frac{\mu_{0}\,j\,a^{2}}{2\,\rho}\,\hat\varphi, \quad \rho>b.}

Resposta

(a) Para 0\le\rho<a:
\vec{B}(\rho)=\frac{\mu_{0}\,j\,\rho}{2}\,\hat\varphi,
para a<\rho<b:
\vec{B}(\rho)=\frac{\mu_{0}\,j\,a^{2}}{2\,\rho}\,\hat\varphi.
(b) Para \rho>b:
\vec{B}(\rho)=\frac{\mu_{0}\,j\,a^{2}}{2\,\rho}\,\hat\varphi.

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