Um fio com uma resistência de 60 mΩ é cortado de tal forma que a resistência do comprimento restante é três vezes maior que o inicial. Determine a resistência do fio após a operação, supondo que a resistividade e a densidade do material permaneçam as mesmas.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um fio que inicialmente tem uma resistência de 60 mΩ. Esse fio é cortado de tal maneira que o comprimento que sobra (o comprimento restante) passa a ter uma resistência três vezes maior que a resistência inicial. A gente precisa descobrir qual será a resistência do fio após esse corte, sabendo que a resistividade e a densidade do material não mudam. Para resolver isso, vamos usar a fórmula da resistência elétrica que relaciona resistividade, comprimento e área da seção transversal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da resistência elétrica:
R = rho LA
Onde:
  • $ R $ é a resistência,
  • $ \rho $ é a resistividade do material,
  • $ L $ é o comprimento do fio,
  • $ A $ é a área da seção transversal.
Como a resistividade ($ \rho R áçã A $) permanecem as mesmas após o corte, a resistência é diretamente proporcional ao comprimento do fio. Ou seja, se o comprimento aumenta, a resistência também aumenta na mesma proporção.

Passo 3

Vamos chamar a resistência inicial de $ R_i = 60 $ mΩ e o comprimento inicial de $ L_i $. Após o corte, a resistência do comprimento restante de $ R_f = 3 R_i = 180 $ mΩ. Queremos encontrar o novo comprimento $ L_f $ que corresponde a essa resistência.
Usando a relação da fórmula da resistência:
Ri = 60
Substituindo os valores conhecidos:
Li
Rf = 3 Ri = 180
Isso significa que o comprimento restante $ L_f $ é três vezes o comprimento inicial $ L_i $. Mas isso não faz sentido, já que cortamos o fio e o comprimento restante deveria ser menor. Isso indica que houve um mal-entendido na interpretação. Vamos revisar.
Na verdade, se a resistência do comprimento restante é três vezes maior, o comprimento restante deve ser um terço do original, já que resistência e comprimento são diretamente proporcionais.
Então:
Lf
Mas isso sugere que o comprimento aumentou, o que não é possível. O correto é considerar que ao cortar o fio, a parte removida tem comprimento $ L_r $ e resistência $ R_r $, e o comprimento restante $ L_f = L_i - L_r $.
Então:
RfRi = LfLi
18060 = LfLi
Dividindo as duas equações:
3 = LfLi
Lf
Li
Como isso não faz sentido (o comprimento não pode aumentar ao cortar), provavelmente houve um erro na interpretação inicial. O correto é que o comprimento restante seja menor, então a resistência do comprimento restante deveria ser menor também, a não ser que o fio seja conectado de outra forma. Vamos considerar que o fio foi reconectado, e a resistência total do novo fio seja a combinação das resistências.

Passo 4

Se o fio é cortado e reconectado de forma que a resistência do comprimento restante é três vezes a resistência inicial, isso implica que a parte restante tem resistência maior. Supondo que o fio cortado seja conectado em série com o restante, a resistência total $ R_{total} $ seria:
Rtotal
Onde $ R_r $ é a resistência da parte removida.
Mas sabemos que:
Rtotal = Rf + Rr
Rr
Então:
Rf = 3 Ri = 180 mΩ
Se o comprimento total do fio original tinha resistência de 60 mΩ, e a resistência da parte restante é 180 mΩ, isso implica que a parte removida tem uma resistência negativa, o que não faz sentido. Portanto, a interpretação correta deve ser que o fio foi cortado e apenas a parte restante tem resistência três vezes a inicial, sem considerar a parte removida.
Isso significa que, para a resistência da parte restante ser três vezes maior, o comprimento restante deve ser três vezes maior, o que não é possível ao cortar. Portanto, a única maneira de isso fazer sentido é se o fio foi cortado diminuindo o comprimento, o que aumentaria a resistência, mas não três vezes maior, a menos que a área da seção transversal tenha sido alterada, o que não é o caso.
Por isso, a interpretação mais plausível é que após o corte, a resistência total do fio (apenas a parte restante) é de 180 mΩ.

Resposta

A resistência do fio após a operação é de 180 mΩ.

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