Q12.1 Um estudante escreveu: “A única razão pela qual a maçã cai no sentido da Terra em vez de a Terra subir no sentido da maçã é que a massa da Terra é muito maior que a massa da maçãe, portanto, ela exerce uma atração muito maior”. Por favor, comente.

Passo 1

O enunciado dá uma frase do estudante e pede um comentário crítico sobre ela. A frase é: “A única razão pela qual a maçã cai no sentido da Terra em vez de a Terra subir no sentido da maçã é que a massa da Terra é muito maior que a massa da maçã, portanto, ela exerce uma atração muito maior”.
Informações relevantes que temos a partir da frase:
  • Há dois corpos: maçã (massa m) e Terra (massa M), com M\gg m.
  • A afirmação envolve causa da queda: atribui a diferença de comportamento (a maçã se move, a Terra não se move visivelmente) à ideia de que a Terra “exerce uma atração muito maior” sobre a maçã.
O pedido é avaliar se essa explicação está correta e, se não, explicar por quê.

Passo 2

Princípios físicos fundamentais que precisamos usar (aula curta aqui, bem mastigada).
  1. Lei da gravitação universal de Newton: a força gravitacional entre duas massas puntiformes (ou massas centradas aproximadamente a uma distância r) é
F = G\frac{M m}{r^{2}},
onde G é a constante gravitacional, M é a massa da Terra, m a massa da maçã e r a distância entre seus centros. Aqui F é a magnitude da força exercida por cada corpo sobre o outro.
  1. Terceira lei de Newton (ação e reação): as forças entre dois corpos são iguais em módulo e opostas em direção. Isso significa que a força que a Terra exerce na maçã tem exatamente a mesma magnitude da força que a maçã exerce na Terra — não existe “força maior” numa troca entre dois corpos isolados.
Comentário didático curto sobre isso: falar que “a Terra exerce atração muito maior” é incorreto se interpretado como maior força. O que realmente difere entre os dois corpos é a aceleração produzida por essa força, porque a = F/m.

Passo 3

Cálculo das acelerações (passo essencial para entender por que a maçã se move muito mais).
  • A força gravitacional que age sobre a maçã tem magnitude
F = G\frac{M m}{r^{2}}.
  • A aceleração da maçã, pela segunda lei de Newton, é
a_{m}=\frac{F}{m}=G\frac{M}{r^{2}}.
Neste contexto a_{m} é a aceleração da maçã em direção à Terra — é o que chamamos de aceleração da gravidade local, comumente denotada por g.
  • A aceleração da Terra devido à maçã é
a_{M}=\frac{F}{M}=G\frac{m}{r^{2}}.
Reescrevendo a relação entre as acelerações:
\frac{a_{M}}{a_{m}}=\frac{m}{M}.
Isso mostra que, embora a força seja a mesma nos dois sentidos, a aceleração resultante é inversamente proporcional à massa do corpo que sofre a força. Como m\ll M, tem-se a_{M}\ll a_{m}.

Passo 4

Estimativa numérica concreta (exemplo simples que dá intuição; tudo pode ser feito na prova com aproximações):
Escolho valores típicos: m=0{,}1\\ \mathrm{kg} (uma maçã de 100 g), M=5{,}97\times10^{24}\\ \mathrm{kg} (massa da Terra) e r\approx6{,}37\times10^{6}\\ \mathrm{m} (raio da Terra).
  • Força sobre a maçã (aproximação usando g):
F \approx m g \approx 0{,}1\cdot9{,}8 = 0{,}98\\ \mathrm{N}.
  • Aceleração da maçã:
a_{m}=G\frac{M}{r^{2}}\approx9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Aceleração da Terra provocada pela maçã:
a_{M}=G\frac{m}{r^{2}}=\frac{m}{M}\,G\frac{M}{r^{2}}=\frac{m}{M}\,a_{m}.
Substituindo números,
a_{M}\approx\frac{0{,}1}{5{,}97\times10^{24}}\cdot9{,}8\approx1{,}6\times10^{-25}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Ou seja, a Terra também acelera em direção à maçã, mas com uma aceleração absurdamente pequena — praticamente zero para observação direta.
  • Deslocamento do centro de massa aproximado: o centro de massa do par Terra‑maçã fica a uma distância do centro da Terra
d\approx\frac{m}{M}r\approx\frac{0{,}1}{5{,}97\times10^{24}}\cdot6{,}37\times10^{6}\approx1{,}1\times10^{-19}\\ \mathrm{m}.
Isso confirma que o ponto em torno do qual ambos giram/caem está virtualmente no interior do núcleo terrestre — por isso a Terra parece não se mover.

Passo 5

Interpretação física e correção da frase do estudante (a parte pedagógica para a prova).
  • A afirmação do estudante está equivocada ao dizer que a Terra “exerce uma atração muito maior” no sentido de que a força da Terra sobre a maçã é maior que a força da maçã sobre a Terra. Isso viola a terceira lei de Newton: as forças são iguais em magnitude e opostas em direção.
  • O que está correto na intuição do estudante é a ideia de que o resultado observado (a maçã mover-se visivelmente, a Terra não) decorre da grande diferença de massas. A maneira correta de formular é: ambos se atraem com a mesma força, mas a aceleração que cada um sofre é inversamente proporcional à sua massa; portanto a maçã (pequena massa) sofre grande aceleração e se move muito mais, enquanto a Terra (massa enorme) sofre uma aceleração extremamente pequena e o movimento é imperceptível.
  • Em termos práticos, em muitos problemas de mecânica aproximamos a Terra como fixa porque a_{M} é tão pequeno que pode ser desprezado. Mas isso é uma aproximação, não uma negação do movimento da Terra.

Passo 6

Observações finais úteis para a prova e para a intuição
  • Visão por campo: pode-se também dizer que a maçã sente um campo gravitacional do solo de magnitude g, e a Terra sente o campo produzido pela maçã, que é Gm/r^{2} e é minúsculo. Dizer “a Terra tem um campo maior” é diferente de dizer “a Terra exerce força maior” — a correta afirmação é que o campo gravitacional produzido pela Terra perto da superfície é grande porque M é grande.
  • Referencial: a descrição “a maçã cai” costuma usar o referencial ligado à Terra; nesse referencial a maçã se aproxima do chão e a Terra praticamente não se move. No referencial do centro de massa do sistema, ambos se aproximam do centro de massa.
  • Forças externas e contato: se a maçã atingir o solo, forças de contato (não-gravitacionais) entram em jogo e impedem a Terra de deslocar-se livremente como um corpo isolado; isso é outra razão prática para não ver movimento da Terra. Ainda assim, enquanto a maçã está em queda livre, a Terra participa (a aceleração é recíproca), matematicamente prevista pelas fórmulas acima.

Resposta

A frase do estudante está mal formulada: a força gravitacional entre Terra e maçã tem a mesma magnitude para ambos (terceira lei de Newton). O que explica o efeito observado é que a mesma força produz acelerações diferentes porque a=F/m; assim a maçã (massa pequena) sofre a\approx9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}} enquanto a Terra sofre a\approx1{,}6\times10^{-25}\\ \mathrm{m/s^{2}} (para m=0{,}1\\ \mathrm{kg}), resultado que torna o movimento da Terra imperceptível.

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