Para uma onda eletromagnética plana, propagando-se no vácuo na direção \hat{\imath}, a expressão para o campo elétrico é dado por
\vec{E}=30 \sin (2 \pi-\omega t) \hat{\jmath}
(Todos os valores são dados no SI )
a) Qual a frequência desta onda? ( 3 \times 10^{8} \mathrm{~Hz} )
b) Obtenha a expressão para o campo magnético associado a esta onda. ( \vec{B}=10^{-7} \sin (2 \pi- \omega t) \hat{k})
c) Calcule a intensidade desta onda. ( 1194 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} )

Passo 1

O enunciado dá uma onda eletromagnética plana no vácuo que se propaga ao longo de \hat{\imath}. O campo elétrico é
\vec{E}(x,t)=30\,\sin\bigl(2\pi x-\omega t\bigr)\,\hat{\jmath},
com todas as unidades no SI. Vamos precisar usar:
  • a relação de fase para identificar o número de onda k=2\pi,
  • a relação de dispersão no vácuo \omega = c\,k,
  • a definição de frequência f=\omega/(2\pi),
  • em ondas EM a relação \vec{B}=\frac{1}{c}\,\hat{k}_B\!\times\vec{E},
  • e a intensidade média I = \frac{E_0^2}{2\,\mu_0\,c}.

Passo 2

Como o argumento da função seno é 2\pi x-\omega t, o número de onda é
k=2\pi\quad(\text{rad/m})
Logo o comprimento de onda é \lambda=2\pi/k=1,m. No vácuo a velocidade de fase é c=3\times10^8,m/s e a frequência vem de
f=\frac{c}{\lambda}=\frac{3\times10^8}{1}=3\times10^8\text{ Hz}.

Passo 3

O campo magnético associado a uma onda EM no vácuo obedece
B_0=\frac{E_0}{c} \quad\text{e}\quad \hat{\jmath}\times\hat{k}=\hat{\imath}.
Aqui E_0=30,V/m e c=3\times10^8,m/s, então
B_0=\frac{30}{3\times10^8}=1\times10^{-7}\text{ T}.
Como \vec{E} está em \hat{\jmath} e a onda vai em \hat{\imath}, o campo \vec{B} fica em \hat{k} de modo que
\vec{B}(x,t) =10^{-7}\,\sin\bigl(2\pi x-\omega t\bigr)\,\hat{k}.

Passo 4

A intensidade média da onda (magnitude do vetor de Poynting médio) no vácuo é
I = \frac{E_0^2}{2\,\mu_0\,c}.
Substituindo \mu_0=4\pi\times10^{-7},H/m, c=3\times10^8,m/s e E_0=30,V/m:
I = \frac{30^2}{2\,(4\pi\times10^{-7})\,(3\times10^8)} = \frac{900}{8\pi\times10^{1}} \approx1{,}194\text{ W/m}^2.

Resposta

(a) f=3\times10^8,Hz
(b) \displaystyle \vec{B}(x,t)=10^{-7}\,\sin\bigl(2\pi x-\omega t\bigr)\,\hat{k}
(c) I\approx1{,}194,W/m²

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