Uma firma recebe 720 mensagens em seu fax em 8 horas de funcionamento. Qual a probabilidade de que:
em 6 minutos receba pelo menos 4 mensagens?

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado diz que a firma recebe 720 mensagens em 8 horas de fax e a gente quer saber qual a probabilidade de, em 6 minutos, cair pelo menos 4 mensagens. Isso é um clássico de processo de Poisson: a chegada de eventos (mensagens) num intervalo de tempo fixo. Para resolver, a gente vai precisar
  1. Calcular a taxa média de chegada (λ por unidade de tempo).
  2. Usar a distribuição de Poisson:
P(N=k)=lambda^k e^-lambdak!
e depois achar .

Passo 2

Primeiro a gente acha a taxa de chegada por hora:
taxa = 720 mensa>=ns8 horas = 90 mensa>=ns/hora
Como o intervalo que interessa é de 6 minutos, que é lambda = 90 times 0,1 = 9 horas, o parâmetro da Poisson fica
Ou seja, em 6 minutos a média esperada é de 9 mensagens.

Passo 3

A gente quer P(N>= 4) = 1 - P(N<= 3) = 1 - sumk=0^3P(N=k). É mais fácil usar o complemento:
P(N=k)=9^k e^-9k!,
E como
P(N<=3)=e^-9l(9^00!+9^11!+9^22!+9^33!r) = e^-9l(1 + 9 + tfrac9^22 + tfrac9^36r)
temos

Passo 4

Então a probabilidade pedida é
P(N>=4) = 1 - e^-9l(1 + 9 + tfrac9^22! + tfrac9^33!r)

Resposta

boxedP(pelo menos 4 mensa>=ns em 6 min) = 1 - e^-9l(1 + 9 + tfrac9^22! + tfrac9^33!r) approx 0,979

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