Física Geral III - Prova 2

Nome:

3- (4 pontos) Considere um anel condutor de raio R que transporta uma corrente elétrica i. Utilizando a lei de Biot-Savart e argumentos de simetria
(b) mostre que a magnitude do campo magnético produzido pela corrente em pontos localizados sobre um eixo perpendicular ao plano do anel e que passa pelo seu centro é dada por B(z)=mu0 i R^22(R^2+z^2)^3 / 2, sendo z a distância do ponto ao centro do anel.
Para refrescar a memória
ccc FB=q v times B ; & L=N PhiBi ; & d FB=i d L times B ; tau=mu times B ; d B=mu04 pi i d s times rr^3 ; & r=m vq B ; & B=mu0 i2 pi R ; oint B cdot d s=mu0 ienc ; PhiB=integral B cdot d A ; & E=-d PhiBd t ; & E=oint E cdot d s ; EL=-L d id t me=9,10 times 10^-31 kg ; & mp=1,67 times 10^-27 kg & q=1,60 times 10^-19 C

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um anel condutor com raio $ R $ que está transportando uma corrente elétrica $ i $. A gente vai usar a Lei de Biot-Savart e alguns argumentos de simetria para descobrir o campo magnético em pontos específicos ao longo de um eixo perpendicular ao plano do anel e que passa pelo centro dele. O que precisamos aqui é entender como aplicar a Lei de Biot-Savart nesse cenário e aproveitar a simetria do anel para simplificar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Lei de Biot-Savart, que nos diz como calcular o campo magnético $ \vec{B} $ gerado por um elemento de corrente. A fórmula é:
B
Aqui, $ d\vec{s} $ é um elemento de comprimento do fio, $ \vec{r} $ é o vetor que vai do elemento de corrente até o ponto onde estamos calculando o campo, e $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo.

Passo 3

Como estamos interessados no campo ao longo do eixo perpendicular ao anel, vamos considerar um ponto a uma distância $ z $ do centro do anel. Devido à simetria do anel, todos os componentes horizontais do campo (no plano do anel) vão se cancelar, e só vamos ter um componente vertical (ao longo do eixo). Então, podemos focar apenas na componente $ B_z $ do campo magnético.

Passo 4

Vamos calcular o campo magnético total $ B_z $ integrando todos os elementos $ dB_z $ ao redor do anel. A distância de qualquer ponto do anel até o ponto no eixo é $ \sqrt{R^2 + z^2} $. A componente $ B_z $ de cada $ d\vec{B} $ é dada por:
Bz
Aqui, $ R , d\theta $ é o comprimento do elemento de corrente $ d\vec{s} $ no anel.

Passo 5

Para obter o campo total $ B_z $, integramos $ dB_z $ ao redor de todo o anel, ou seja, de $ \theta = 0 $ a $ \theta = 2\pi $:
Bz
A integral de $ d\theta $ de 0 a $ 2\pi $ é simplesmente $ 2\pi $.

Passo 6

Substituindo a integral, temos:
Bz = mu04pi i , R , z(R^2 + z^2)^3/2 times 2pi = mu0 i R z2(R^2 + z^2)^3/2

Passo 7

Mas note que, na posição ao longo do eixo, o campo magnético é perpendicular ao plano do anel e, portanto, sua direção é apenas na direção $ z $. A fórmula acima já representa a magnitude do campo magnético nesse ponto.

Resposta

A magnitude do campo magnético no ponto desejado é dada por:
B(z) = mu0 , i , R^22(R^2 + z^2)^3/2

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