Física Geral III - Prova 2
Nome:
3- (4 pontos) Considere um anel condutor de raio
que transporta uma corrente elétrica
. Utilizando a lei de Biot-Savart e argumentos de simetria
(b) mostre que a magnitude do campo magnético produzido pela corrente em pontos localizados sobre um eixo perpendicular ao plano do anel e que passa pelo seu centro é dada por
, sendo
a distância do ponto ao centro do anel.
Para refrescar a memória
(b) mostre que a magnitude do campo magnético produzido pela corrente em pontos localizados sobre um eixo perpendicular ao plano do anel e que passa pelo seu centro é dada por
Para refrescar a memória
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um anel condutor com raio $ R $ que está transportando uma corrente elétrica $ i $. A gente vai usar a Lei de Biot-Savart e alguns argumentos de simetria para descobrir o campo magnético em pontos específicos ao longo de um eixo perpendicular ao plano do anel e que passa pelo centro dele. O que precisamos aqui é entender como aplicar a Lei de Biot-Savart nesse cenário e aproveitar a simetria do anel para simplificar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Lei de Biot-Savart, que nos diz como calcular o campo magnético $ \vec{B} $ gerado por um elemento de corrente. A fórmula é:
Aqui, $ d\vec{s} $ é um elemento de comprimento do fio, $ \vec{r} $ é o vetor que vai do elemento de corrente até o ponto onde estamos calculando o campo, e $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo.
Passo 3
Como estamos interessados no campo ao longo do eixo perpendicular ao anel, vamos considerar um ponto a uma distância $ z $ do centro do anel. Devido à simetria do anel, todos os componentes horizontais do campo (no plano do anel) vão se cancelar, e só vamos ter um componente vertical (ao longo do eixo). Então, podemos focar apenas na componente $ B_z $ do campo magnético.
Passo 4
Vamos calcular o campo magnético total $ B_z $ integrando todos os elementos $ dB_z $ ao redor do anel. A distância de qualquer ponto do anel até o ponto no eixo é $ \sqrt{R^2 + z^2} $. A componente $ B_z $ de cada $ d\vec{B} $ é dada por:
Aqui, $ R , d\theta $ é o comprimento do elemento de corrente $ d\vec{s} $ no anel.
Passo 5
Para obter o campo total $ B_z $, integramos $ dB_z $ ao redor de todo o anel, ou seja, de $ \theta = 0 $ a $ \theta = 2\pi $:
A integral de $ d\theta $ de 0 a $ 2\pi $ é simplesmente $ 2\pi $.
Passo 6
Substituindo a integral, temos:
Passo 7
Mas note que, na posição ao longo do eixo, o campo magnético é perpendicular ao plano do anel e, portanto, sua direção é apenas na direção $ z $. A fórmula acima já representa a magnitude do campo magnético nesse ponto.
Resposta
A magnitude do campo magnético no ponto desejado é dada por: