Um móvel percorre dois segmentos de reta seguidos de mesmo comprimento com velocidades médias respectivamente v1 e v2. Mostre que a velocidade média vm no trecho total é a Média Harmônica de v1 e v2, (onde a Média Harmônica de dois números é definida como o inverso da média aritmética dos inversos desses números.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um móvel que percorre dois trechos de mesma distância, mas com velocidades diferentes, v1 e v2. A gente precisa descobrir qual é a velocidade média total, vm, nesse trajeto todo. Para resolver isso, vamos usar o conceito de Média Harmônica, que é uma forma especial de calcular médias quando estamos lidando com velocidades ou taxas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é velocidade média. A velocidade média é basicamente a distância total percorrida dividida pelo tempo total gasto para percorrer essa distância. Ou seja:
vm = Distância TotalTempo Total â

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância total percorrida. Como o móvel percorre dois trechos de mesmo comprimento, vamos chamar cada trecho de L. Então, a distância total é:
Distância Total = L + L = 2L â

Passo 4

Vamos calcular o tempo gasto em cada trecho. A fórmula para o tempo, quando conhecemos a distância e a velocidade, é:
t = DistânciaVelocidade â
Para o primeiro trecho:
t1 = Lv1
E para o segundo trecho:
t2 = Lv2

Passo 5

O tempo total que o móvel levou para percorrer os dois trechos é a soma dos tempos de cada trecho:
Tempo Total = t1 + t2 = Lv1 + Lv2

Passo 6

Agora, vamos calcular a velocidade média usando a fórmula que mencionamos no Passo 2:
vm = 2LLv1 + Lv2
Perceba que o L no numerador e denominador pode ser cancelado:
vm = 21v1 + 1v2

Resposta

A velocidade média vm no trecho total é a média harmônica de v1 e v2, ou seja:
vm = 21v1 + 1v2

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