Um móvel percorre dois segmentos de reta seguidos de mesmo comprimento com velocidades médias respectivamente
e
. Mostre que a velocidade média
no trecho total é a Média Harmônica de
e
, (onde a Média Harmônica de dois números é definida como o inverso da média aritmética dos inversos desses números.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um móvel que percorre dois trechos de mesma distância, mas com velocidades diferentes,
e
. A gente precisa descobrir qual é a velocidade média total,
, nesse trajeto todo. Para resolver isso, vamos usar o conceito de Média Harmônica, que é uma forma especial de calcular médias quando estamos lidando com velocidades ou taxas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é velocidade média. A velocidade média é basicamente a distância total percorrida dividida pelo tempo total gasto para percorrer essa distância. Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos calcular a distância total percorrida. Como o móvel percorre dois trechos de mesmo comprimento, vamos chamar cada trecho de
. Então, a distância total é:
Passo 4
Vamos calcular o tempo gasto em cada trecho. A fórmula para o tempo, quando conhecemos a distância e a velocidade, é:
Para o primeiro trecho:
E para o segundo trecho:
Passo 5
O tempo total que o móvel levou para percorrer os dois trechos é a soma dos tempos de cada trecho:
Passo 6
Agora, vamos calcular a velocidade média usando a fórmula que mencionamos no Passo 2:
Perceba que o
no numerador e denominador pode ser cancelado:
Resposta
A velocidade média
no trecho total é a média harmônica de
e
, ou seja: