(2,5 pontos) Considere o potencial de Lennard-Jones abaixo, que descreve um modelo semi-empírico de interação entre átomos ou moléculas neutras:
onde
é a distância entre as partículas,
e a distância finita em que o potencial cai efetivamente para zero e
é a profundidade do poço de potencial.
Calcule a freqüência e o período de pequenas oscilações em torno dos pontos críticos apropriados, se existirem.
Calcule a freqüência e o período de pequenas oscilações em torno dos pontos críticos apropriados, se existirem.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Ela nos apresenta o potencial de Lennard-Jones, que é usado para modelar como átomos ou moléculas neutras interagem entre si. Nossa tarefa é calcular a frequência e o período das pequenas oscilações que ocorrem em torno dos pontos críticos deste potencial, caso esses pontos existam. Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de cálculo diferencial, especialmente derivadas, e de física relacionada a oscilações harmônicas.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos do potencial $ U(x) $. Pontos críticos ocorrem onde a primeira derivada de $ U(x) $ em relação a $ x $ é igual a zero, ou seja, onde $ \frac{dU}{dx} = 0 $. Vamos calcular essa derivada.
Dados:
Vamos derivar $ U(x) $ em relação a $ x $:
Simplificando:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Podemos fatorar $ \frac{6a{6}}{x{13}} $:
Como $ \frac{6a{6}}{x{13}} $ nunca é zero para $ x > 0 $, precisamos resolver:
Então, a solução é:
Passo 4
Encontramos o ponto crítico $ x_0 = 2^{1/6} a $. Agora, vamos verificar a natureza desse ponto crítico calculando a segunda derivada de $ U(x) $ e avaliando-a em $ x_0 $.
Calculando a segunda derivada:
Derivando termo a termo:
Passo 5
Avaliaremos a segunda derivada em $ x_0 = 2^{1/6} a $:
Substituindo $ x = 2^{1/6} a $ na segunda derivada:
Simplificando as potências:
Simplificando ainda mais:
Fatorando $ V/(2^{4/3} a^{2}) $:
Como a segunda derivada é positiva, isso indica que $ x_0 $ é um ponto de mínimo, ou seja, é uma posição de equilíbrio estável.
Passo 6
Agora que sabemos que o ponto $ x_0 = 2^{1/6} a $ é um mínimo, podemos tratar as pequenas oscilações em torno desse ponto como movimentos harmônicos simples. A frequência $ \omega $ dessas oscilações é dada por:
Onde $ k $ é a constante de mola equivalente, que pode ser obtida da segunda derivada do potencial no ponto de equilíbrio:
Então:
Simplificando $ 2^{2/3} = (2{1/3}){2} $:
Passo 7
Finalmente, o período $ T $ das oscilações é o inverso da frequência multiplicado por $ 2\pi $:
Simplificando:
Resposta
A frequência das pequenas oscilações em torno do ponto de equilíbrio é:
E o período dessas oscilações é: