(2,5 pontos) Considere o potencial de Lennard-Jones abaixo, que descreve um modelo semi-empírico de interação entre átomos ou moléculas neutras:
U(x)=4 V[(ax)^12-(ax)^6] (V>0)
onde x é a distância entre as partículas, a e a distância finita em que o potencial cai efetivamente para zero e V é a profundidade do poço de potencial.
Calcule a freqüência e o período de pequenas oscilações em torno dos pontos críticos apropriados, se existirem.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Ela nos apresenta o potencial de Lennard-Jones, que é usado para modelar como átomos ou moléculas neutras interagem entre si. Nossa tarefa é calcular a frequência e o período das pequenas oscilações que ocorrem em torno dos pontos críticos deste potencial, caso esses pontos existam. Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de cálculo diferencial, especialmente derivadas, e de física relacionada a oscilações harmônicas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos do potencial $ U(x) $. Pontos críticos ocorrem onde a primeira derivada de $ U(x) $ em relação a $ x $ é igual a zero, ou seja, onde $ \frac{dU}{dx} = 0 $. Vamos calcular essa derivada.
Dados:
U(x)
Vamos derivar $ U(x) $ em relação a $ x $:
U(x)
Simplificando:
x

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
-12a^12x^13 + 6a^6x^7 = 0
Podemos fatorar $ \frac{6a{6}}{x{13}} $:
6a^6x^13
Como $ \frac{6a{6}}{x{13}} $ nunca é zero para $ x > 0 $, precisamos resolver:
6a^6x^13(-2a^6 + x^6) = 0
Então, a solução é:
6a^6x^13

Passo 4

Encontramos o ponto crítico $ x_0 = 2^{1/6} a $. Agora, vamos verificar a natureza desse ponto crítico calculando a segunda derivada de $ U(x) $ e avaliando-a em $ x_0 $.
Calculando a segunda derivada:
x0 = 2^1/6 a
Derivando termo a termo:
U(x)

Passo 5

Avaliaremos a segunda derivada em $ x_0 = 2^{1/6} a $:
Substituindo $ x = 2^{1/6} a $ na segunda derivada:
x0 = 2^1/6 a
Simplificando as potências:
x = 2^1/6 a
Simplificando ainda mais:
d^2Udx^2 g|x = x0 = 624 V a^12(2^1/6 a)^14 - 168 V a^6(2^1/6 a)^8
Fatorando $ V/(2^{4/3} a^{2}) $:
= 624 V a^122^14/6 a^14 - 168 V a^62^8/6 a^8
= 624 V 12^7/3 a^2 - 168 V 12^4/3 a^2
Como a segunda derivada é positiva, isso indica que $ x_0 $ é um ponto de mínimo, ou seja, é uma posição de equilíbrio estável.

Passo 6

Agora que sabemos que o ponto $ x_0 = 2^{1/6} a $ é um mínimo, podemos tratar as pequenas oscilações em torno desse ponto como movimentos harmônicos simples. A frequência $ \omega $ dessas oscilações é dada por:
x0 = 2^1/6 a
Onde $ k $ é a constante de mola equivalente, que pode ser obtida da segunda derivada do potencial no ponto de equilíbrio:
omega
Então:
omega = raizkm
Simplificando $ 2^{2/3} = (2{1/3}){2} $:
k

Passo 7

Finalmente, o período $ T $ das oscilações é o inverso da frequência multiplicado por $ 2\pi $:
T
Simplificando:
2pi

Resposta

A frequência das pequenas oscilações em torno do ponto de equilíbrio é:
omega = 12 cdot 2^-2/3 raiz Va^2 m
E o período dessas oscilações é:
T = pi cdot 2^2/36 cdot a raizmraizV

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