Três vetores são dados por:
& a=3,0 i+3,0 j-2,0 k, & b=-1,0 i-4,0 j+2,0 k, & c=2,0 i+2,0 j+1,0 k
Determine:
a cdot(b times c)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três vetores, a, b e c, com componentes nas direções $ \hat{i} $, $ \hat{j} $ e $ \hat{k} $. A tarefa é calcular o produto escalar do vetor i com o produto vetorial de j e k , ou seja, a. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular produto vetorial e produto escalar de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial b times c. O produto vetorial entre dois vetores resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A fórmula para o produto vetorial é:
b times c = i & j & k bx & by & bz cx & cy & cz
Vamos montar essa matriz usando os componentes de b e c:
b times c = i & j & k -1,0 & -4,0 & 2,0 2,0 & 2,0 & 1,0

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Lembrando que:
b times c = i(by cz - bz cy) - j(bx cz - bz cx) + k(bx cy - by cx)
Substituindo os valores:
b times c = i((-4,0)(1,0) - (2,0)(2,0)) - j((-1,0)(1,0) - (2,0)(2,0)) + k((-1,0)(2,0) - (-4,0)(2,0))

Passo 4

Vamos calcular cada componente separadamente:
Para $ \hat{i} $:
i
Para $ \hat{j} $:
(-4,0)(1,0) - (2,0)(2,0) = (-4 times 1) - (2 times 2) = -4 - 4 = -8
Para $ \hat{k} $:
j

Passo 5

Agora, juntando tudo:
b times c = -8i - (-5)j + 6k = -8i + 5j + 6k

Passo 6

Com o vetor b times c calculado, vamos agora fazer o produto escalar com a. O produto escalar entre dois vetores é dado por:
a cdot d = ax dx + ay dy + az dz
Onde d = b times c. Então:
a cdot (b times c) = (3,0)(-8) + (3,0)(5) + (-2,0)(6)

Passo 7

Calculando cada termo:
3,0 times (-8) = -24
3,0 times 5 = 15
-2,0 times 6 = -12
Somando tudo:
-24 + 15 - 12 = -21

Resposta

O valor de a cdot (b times c) é -21.

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