O “ângulo” introduzido em relação à Equação (15.40) possui várias propriedades úteis. Para qualquer velocidade (com fatores e respectivamente) podemos definir de modo que . Definido dessa forma, é chamado de rapidez de . Mostre que e .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um ângulo chamado , conhecido como rapidez, relacionado à velocidade de um objeto que é menor que a velocidade da luz . Sabemos que e . A questão nos diz que e quer que a gente mostre duas igualdades envolvendo funções hiperbólicas: e . Para resolver isso, vamos precisar lembrar das definições das funções hiperbólicas e como elas se relacionam com e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das definições das funções hiperbólicas que vamos usar:
Sabemos que , então podemos escrever:

Passo 3

Agora, queremos encontrar uma expressão para em termos de e . Sabemos que:
Mas também podemos usar a relação entre e . Sabendo que:
Isso vem da identidade hiperbólica . Substituindo , temos:

Passo 4

Vamos relacionar e . Sabemos que:
Então, mostramos que:

Passo 5

Agora, vamos determinar . Pela definição:
Já sabemos que e , então substituindo:

Resposta

Assim, demonstramos que e .

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