O “ângulo”
introduzido em relação à Equação (15.40) possui várias propriedades úteis. Para qualquer velocidade
(com fatores
e
respectivamente) podemos definir
de modo que
. Definido dessa forma,
é chamado de rapidez de
. Mostre que
e
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um ângulo chamado
, conhecido como rapidez, relacionado à velocidade
de um objeto que é menor que a velocidade da luz
. Sabemos que
e
. A questão nos diz que
e quer que a gente mostre duas igualdades envolvendo funções hiperbólicas:
e
. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das definições das funções hiperbólicas e como elas se relacionam com
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das definições das funções hiperbólicas que vamos usar:
Sabemos que
, então podemos escrever:
Passo 3
Agora, queremos encontrar uma expressão para
em termos de
e
. Sabemos que:
Mas também podemos usar a relação entre
e
. Sabendo que:
Isso vem da identidade hiperbólica
. Substituindo
, temos:
Passo 4
Vamos relacionar
e
. Sabemos que:
Então, mostramos que:
Passo 5
Agora, vamos determinar
. Pela definição:
Já sabemos que
e
, então substituindo:
Resposta
Assim, demonstramos que
e
.