(a) Determine a matriz que gira o espaço tridimensional em torno do eixo , de modo que gira por um ângulo em direção a .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para determinar uma matriz de rotação , chamada , que gira o espaço tridimensional ao redor do eixo . Basicamente, queremos que o vetor (que aponta na direção do eixo ) gire um ângulo na direção de (direção do eixo ). Para resolver isso, vamos usar conceitos de matrizes de rotação na geometria tridimensional.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que uma matriz de rotação em 3D ao redor de um dos eixos principais (no caso, o ) tem uma forma específica. Quando rotacionamos ao redor do eixo , as coordenadas e mudam, mas permanece a mesma.

Passo 3

A forma geral da matriz de rotação ao redor do eixo é dada por:
Vamos entender cada elemento dessa matriz:
  • e aparecem nas posições que afetam os eixos e , pois é nesses planos que ocorre a rotação.
  • Os zeros na terceira coluna e linha indicam que o eixo não é afetado pela rotação; ele permanece fixo.

Passo 4

Para verificar se essa matriz está correta, vamos ver o que acontece com o vetor após a rotação:
Isso mostra que gira um ângulo em direção a , como a questão pede.

Resposta

A matriz de rotação que gira o espaço tridimensional em torno do eixo de modo que gira por um ângulo em direção a é:

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