(a) Mostre que no caso em que a fonte está se aproximando frontalmente do observador, a fórmula de Doppler (15.64) pode ser reescrita como
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que, quando a fonte está se aproximando diretamente do observador, a fórmula de Doppler pode ser escrita como
. Aqui, estamos lidando com o Efeito Doppler na física, que descreve como a frequência de uma onda muda quando a fonte ou o observador estão em movimento relativo. Para resolver isso, vamos precisar da fórmula geral do Efeito Doppler e entender o que cada termo representa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula geral do Efeito Doppler para ondas sonoras ou eletromagnéticas quando há movimento relativo entre a fonte e o observador:
Aqui:
-
é a frequência observada. -
é a frequência original emitida pela fonte. -
é a velocidade da fonte em relação ao observador. -
é a velocidade da luz (ou do som, dependendo do contexto). -
é o ângulo entre a direção do movimento da fonte e a linha de observação.
Passo 3
No caso do exercício, a fonte está se aproximando frontalmente do observador. Isso significa que o movimento da fonte está diretamente na linha de visão do observador, ou seja, o ângulo
graus.
Passo 4
Vamos substituir
na fórmula geral. Como
, a fórmula fica:
Simplificando:
Passo 5
Vamos introduzir
para simplificar a expressão. Substituindo, temos:
Isso pode ser reescrito como:
Resposta
Então, mostramos que quando a fonte se aproxima frontalmente do observador, a frequência observada é: