(a) Mostre que no caso em que a fonte está se aproximando frontalmente do observador, a fórmula de Doppler (15.64) pode ser reescrita como .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que, quando a fonte está se aproximando diretamente do observador, a fórmula de Doppler pode ser escrita como . Aqui, estamos lidando com o Efeito Doppler na física, que descreve como a frequência de uma onda muda quando a fonte ou o observador estão em movimento relativo. Para resolver isso, vamos precisar da fórmula geral do Efeito Doppler e entender o que cada termo representa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula geral do Efeito Doppler para ondas sonoras ou eletromagnéticas quando há movimento relativo entre a fonte e o observador:
Aqui:
  • é a frequência observada.
  • é a frequência original emitida pela fonte.
  • é a velocidade da fonte em relação ao observador.
  • é a velocidade da luz (ou do som, dependendo do contexto).
  • é o ângulo entre a direção do movimento da fonte e a linha de observação.

Passo 3

No caso do exercício, a fonte está se aproximando frontalmente do observador. Isso significa que o movimento da fonte está diretamente na linha de visão do observador, ou seja, o ângulo graus.

Passo 4

Vamos substituir na fórmula geral. Como , a fórmula fica:
Simplificando:

Passo 5

Vamos introduzir para simplificar a expressão. Substituindo, temos:
Isso pode ser reescrito como:

Resposta

Então, mostramos que quando a fonte se aproxima frontalmente do observador, a frequência observada é:

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