Os múons criados pelos raios cósmicos na atmosfera superior caem mais ou menos uniformemente sobre a superfície da Terra, embora alguns deles decaiam em seu caminho para baixo, com uma meia-vida de cerca de (medido em seus referenciais de repouso). Um detector de múons é transportado por um balão a uma altitude de 2000 m e ao longo do trajeto de uma hora deteta 650 múons viajando com em direção à Terra. Se um detector idêntico permanece ao nível do mar, quantos múons ele deve registrar em uma hora? Calcule a resposta levando em consideração a dilatação temporal relativística e também classicamente. (Lembre-se de que, depois de meias-vidas, das partículas originais sobrevivem.) Não precisamos afirmar que a resposta relativística está de acordo com experimentos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre múons, que são partículas que vem dos raios cósmicos e chegam até a Terra. Esses múons têm uma meia-vida de cerca de no referencial de repouso deles. Temos um detector levado por um balão a 2000 metros de altitude que detecta 650 múons em uma hora, com velocidade de em direção ao solo. Queremos saber quantos múons um detector no nível do mar registraria em uma hora, considerando tanto a dilatação do tempo da relatividade quanto o caso clássico. Para resolver isso, vamos precisar entender como a meia-vida dos múons e a dilatação do tempo afetam a contagem de múons que chegam ao solo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o tempo que os múons levam para descer dos 2000 metros até o solo. Sabemos que a velocidade dos múons é , onde é a velocidade da luz ( ). Então, o tempo que eles levam é dado por:
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Passo 3

Agora, vamos calcular quantas meias-vidas os múons passam durante essa descida. A meia-vida ( ) dos múons é . O número de meias-vidas ( ) é:

Passo 4

No caso clássico, sem considerar a relatividade, a fração de múons que sobreviveria é . Então:
çã
Isso significa que cerca de 4,27% dos múons originais chegariam ao solo sem decair.

Passo 5

Agora, vamos considerar a dilatação do tempo na relatividade. De acordo com a teoria da relatividade especial, o tempo no referencial dos múons ( ) é dilatado em relação ao referencial da Terra ( ) pela relação:
onde é o fator de Lorentz dado por:

Passo 6

Com a dilatação do tempo, a meia-vida efetiva dos múons no referencial da Terra ( ) é:
Agora, o número de meias-vidas durante a descida é:

Passo 7

Usando a dilatação do tempo, a fração de múons que sobrevivem é:
çã
Então, cerca de 61% dos múons chegariam ao solo quando consideramos a dilatação do tempo relativística.

Resposta

Sem a dilatação do tempo, aproximadamente 4,27% dos múons são detectados no nível do mar. Com a dilatação temporal relativística, cerca de 61% dos múons são registrados em uma hora.

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