(b) Obtenha as matrizes que representam rotações do plano por , com o ângulo de rotação medido no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar duas matrizes de , chamadas e , que representam rotações no plano por ângulos de (ou seja, e ). Para isso, vamos precisar entender como construímos matrizes de rotação e como aplicá-las em um espaço de quatro dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma matriz de rotação no plano em duas dimensões tem a forma:
Aqui, é o ângulo de rotação. No nosso caso, precisamos expandir isso para quatro dimensões, já que as matrizes que queremos são . Mas, como a rotação ocorre apenas no plano , as outras coordenadas ( e ) permanecem inalteradas.

Passo 3

Então, para criar uma matriz de rotação que rotaciona apenas no plano , integramos a matriz de rotação nos primeiros dois blocos da matriz e deixamos o restante como identidade. A forma geral fica assim:

Passo 4

Agora, vamos substituir pelos ângulos dados no problema: e .
Para :
Substituindo na matriz:
Para :
Substituindo na matriz:

Resposta

As matrizes que representam rotações no plano por são:
e

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