(b) Obtenha as matrizes que representam rotações do plano por , com o ângulo de rotação medido no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar duas matrizes de , chamadas e , que representam rotações no plano por ângulos de (ou seja, e ). Para isso, vamos precisar entender como construímos matrizes de rotação e como aplicá-las em um espaço de quatro dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma matriz de rotação no plano em duas dimensões tem a forma:
Aqui, é o ângulo de rotação. No nosso caso, precisamos expandir isso para quatro dimensões, já que as matrizes que queremos são . Mas, como a rotação ocorre apenas no plano , as outras coordenadas ( e ) permanecem inalteradas.
Passo 3
Então, para criar uma matriz de rotação que rotaciona apenas no plano , integramos a matriz de rotação nos primeiros dois blocos da matriz e deixamos o restante como identidade. A forma geral fica assim:
Passo 4
Agora, vamos substituir pelos ângulos dados no problema: e .
Para :
Substituindo na matriz:
Para :
Substituindo na matriz:
Resposta
As matrizes que representam rotações no plano por são:
e
Física - John R. Taylor. - Mecânica Clássica - 1ª Edição - Capítulo 15.Problemas - Ex. 15.33b