Aqui, está uma conveniente propriedade da rapidez introduzida no Problema 15.30: suponha que o observador tenha rapidez medida por e que tenha rapidez medida por (com ambas as velocidades ao longo do eixo ). Isto é, a velocidade de relativa a tem e assim por diante. Mostre que a rapidez de medida por é exatamente .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos três observadores: A, B e C, todos se movendo ao longo do eixo . A rapidez de B medida por A é , e a rapidez de C medida por B é . O que precisamos mostrar é que a rapidez de C medida por A é exatamente . Vamos usar o conceito de rapidez na Teoria da Relatividade, onde a rapidez é adicionada de forma linear, diferente da velocidade comum.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a rapidez está relacionada à velocidade pela função hiperbólica tangente:
Isso porque, na Relatividade Especial, a rapidez facilita a adição de velocidades relativísticas.

Passo 3

Vamos chamar de a velocidade de B em relação a A, e a velocidade de C em relação a B. Queremos encontrar , a velocidade de C em relação a A.

Passo 4

Sabemos que, na Relatividade, as velocidades se combinam pela fórmula:
Vamos substituir e pelas expressões em termos de rapidez.

Passo 5

Substituindo e na fórmula:
Vamos simplificar essa expressão usando a identidade hiperbólica:

Passo 6

Aplicando a identidade, temos:
Isso mostra que a rapidez total é a soma das rapididades individuais.

Resposta

A rapidez de medida por é .

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