Aqui, está uma conveniente propriedade da rapidez introduzida no Problema 15.30: suponha que o observador
tenha rapidez
medida por
e que
tenha rapidez medida por
(com ambas as velocidades ao longo do eixo
). Isto é, a velocidade de
relativa a
tem
e assim por diante. Mostre que a rapidez de
medida por
é exatamente
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos três observadores: A, B e C, todos se movendo ao longo do eixo
. A rapidez de B medida por A é
, e a rapidez de C medida por B é
. O que precisamos mostrar é que a rapidez de C medida por A é exatamente
. Vamos usar o conceito de rapidez na Teoria da Relatividade, onde a rapidez é adicionada de forma linear, diferente da velocidade comum.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a rapidez
está relacionada à velocidade
pela função hiperbólica tangente:
Isso porque, na Relatividade Especial, a rapidez facilita a adição de velocidades relativísticas.
Passo 3
Vamos chamar de
a velocidade de B em relação a A, e
a velocidade de C em relação a B. Queremos encontrar
, a velocidade de C em relação a A.
Passo 4
Sabemos que, na Relatividade, as velocidades se combinam pela fórmula:
Vamos substituir
e
pelas expressões em termos de rapidez.
Passo 5
Substituindo
e
na fórmula:
Vamos simplificar essa expressão usando a identidade hiperbólica:
Passo 6
Aplicando a identidade, temos:
Isso mostra que a rapidez total
é a soma das rapididades individuais.
Resposta
A rapidez de
medida por
é
.