Suponha que um ponto no espaço-tempo, com coordenadas esteja no interior do cone de luz passado visto no referencial S . Isso significa que e , pelo menos no referencial . Mostre que essas duas condições são satisfeitas em todos os referenciais. Como isso significa que todos os observadores concordam que , isso justifica chamar a parte interior do cone de luz passado de passado absoluto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre um ponto no espaço-tempo com coordenadas . Esse ponto está dentro do cone de luz passado no referencial , o que significa que e nesse referencial. O objetivo é mostrar que essas duas condições são verdadeiras em todos os referenciais, ou seja, que todos os observadores concordam que . Isso nos ajuda a entender por que chamamos a parte interna do cone de luz passado de “passado absoluto”.
Vamos precisar usar conceitos de relatividade especial, como invariância do intervalo espaço-tempo e transformações de Lorentz, para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso indica que o intervalo espaço-tempo é temporalmente definido, ou seja, o ponto está dentro do cone de luz e pode ser relacionado causalmente com o ponto de origem. Esse intervalo é chamado de intervalo do tipo tempo ou intervalo temporal.

Passo 3

Agora, a segunda condição implica que o evento está no passado em relação ao referencial . Aqui, representa a coordenada temporal no referencial , e significa que o evento ocorreu antes do ponto de origem no tempo desse referencial.

Passo 4

O próximo passo é mostrar que essas duas condições são preservadas em qualquer outro referencial. Para isso, usamos a invariância do intervalo espaço-tempo sob transformações de Lorentz. Isso significa que permanece o mesmo em todos os referenciais inerciais. Portanto, se em , essa desigualdade será válida em qualquer outro referencial.

Passo 5

Sobre a segunda condição, , queremos provar que todos os observadores concordam que . Sabemos que as transformações de Lorentz preservam a causalidade, ou seja, eventos que estão no passado um do outro em um referencial permanecerão no passado em todos os referenciais. Portanto, se em , então em qualquer outro referencial , garantindo que todos os observadores concordam que .

Resposta

Assim, mostramos que se um ponto está no interior do cone de luz passado no referencial , as condições e são satisfeitas em todos os referenciais. Isso confirma que todos os observadores concordam que , justificando chamar a parte interior do cone de luz passado de passado absoluto.

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