Suponha que um ponto
no espaço-tempo, com coordenadas
esteja no interior do cone de luz passado visto no referencial S . Isso significa que
e
, pelo menos no referencial
. Mostre que essas duas condições são satisfeitas em todos os referenciais. Como isso significa que todos os observadores concordam que
, isso justifica chamar a parte interior do cone de luz passado de passado absoluto.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre um ponto
no espaço-tempo com coordenadas
. Esse ponto está dentro do cone de luz passado no referencial
, o que significa que
e
nesse referencial. O objetivo é mostrar que essas duas condições são verdadeiras em todos os referenciais, ou seja, que todos os observadores concordam que
. Isso nos ajuda a entender por que chamamos a parte interna do cone de luz passado de “passado absoluto”.
Vamos precisar usar conceitos de relatividade especial, como invariância do intervalo espaço-tempo e transformações de Lorentz, para resolver esse problema.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso indica que o intervalo espaço-tempo é temporalmente definido, ou seja, o ponto
está dentro do cone de luz e pode ser relacionado causalmente com o ponto de origem. Esse intervalo é chamado de intervalo do tipo tempo ou intervalo temporal.
Passo 3
Agora, a segunda condição
implica que o evento
está no passado em relação ao referencial
. Aqui,
representa a coordenada temporal no referencial
, e
significa que o evento ocorreu antes do ponto de origem no tempo desse referencial.
Passo 4
O próximo passo é mostrar que essas duas condições são preservadas em qualquer outro referencial. Para isso, usamos a invariância do intervalo espaço-tempo sob transformações de Lorentz. Isso significa que
permanece o mesmo em todos os referenciais inerciais. Portanto, se
em
, essa desigualdade será válida em qualquer outro referencial.
Passo 5
Sobre a segunda condição,
, queremos provar que todos os observadores concordam que
. Sabemos que as transformações de Lorentz preservam a causalidade, ou seja, eventos que estão no passado um do outro em um referencial permanecerão no passado em todos os referenciais. Portanto, se
em
, então
em qualquer outro referencial
, garantindo que todos os observadores concordam que
.
Resposta
Assim, mostramos que se um ponto
está no interior do cone de luz passado no referencial
, as condições
e
são satisfeitas em todos os referenciais. Isso confirma que todos os observadores concordam que
, justificando chamar a parte interior do cone de luz passado de passado absoluto.