(a) Mostre que se um corpo tem velocidade em um referencial inercial, então em todos os referenciais. [Sugestão: considere o quadrivetor deslocamento , onde é o deslocamento tridimensional em um pequeno intervalo de tempo .]

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pergunta para mostrar que se um corpo tem velocidade em um referencial inercial, então em todos os referenciais. Aqui, estamos lidando com a Teoria da Relatividade Especial e vamos precisar usar conceitos como transformações de Lorentz e quadrivetores deslocamento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um corpo ter velocidade . Isso quer dizer que a velocidade do corpo é menor que a velocidade da luz no vácuo, , no referencial inicial.

Passo 3

Agora, vamos considerar dois referenciais inerciais: o referencial , onde o corpo tem velocidade , e o referencial , que está se movendo em relação a com uma certa velocidade . Nosso objetivo é mostrar que no referencial , a velocidade do corpo também será menor que .

Passo 4

Para fazer isso, vamos utilizar as transformações de Lorentz, que nos permitem relacionar as coordenadas espaço-tempo entre os dois referenciais. As transformações são dadas por:
onde é o fator de Lorentz.

Passo 5

Vamos considerar o quadrivetor deslocamento . Esse quadrivetor é invariante entre os referenciais, ou seja, sua magnitude é a mesma em qualquer referencial inercial.

Passo 6

A magnitude do quadrivetor deslocamento é dada por:
Como a velocidade , podemos reescrever:
Dado que , temos que , o que indica que o quadrivetor é do tipo tempo e, portanto, invariante perante transformações de Lorentz.

Passo 7

Isso significa que, se em um referencial, a condição será mantida após a aplicação das transformações de Lorentz para qualquer outro referencial inercial .

Resposta

Assim, mostramos que se um corpo tem velocidade em um referencial inercial, então em todos os referenciais inerciais.

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