(a) Mostre que se um corpo tem velocidade
em um referencial inercial, então
em todos os referenciais. [Sugestão: considere o quadrivetor deslocamento
, onde
é o deslocamento tridimensional em um pequeno intervalo de tempo
.]
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pergunta para mostrar que se um corpo tem velocidade
em um referencial inercial, então
em todos os referenciais. Aqui, estamos lidando com a Teoria da Relatividade Especial e vamos precisar usar conceitos como transformações de Lorentz e quadrivetores deslocamento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um corpo ter velocidade
. Isso quer dizer que a velocidade do corpo é menor que a velocidade da luz no vácuo,
, no referencial inicial.
Passo 3
Agora, vamos considerar dois referenciais inerciais: o referencial
, onde o corpo tem velocidade
, e o referencial
, que está se movendo em relação a
com uma certa velocidade
. Nosso objetivo é mostrar que no referencial
, a velocidade do corpo também será menor que
.
Passo 4
Para fazer isso, vamos utilizar as transformações de Lorentz, que nos permitem relacionar as coordenadas espaço-tempo entre os dois referenciais. As transformações são dadas por:
onde
é o fator de Lorentz.
Passo 5
Vamos considerar o quadrivetor deslocamento
. Esse quadrivetor é invariante entre os referenciais, ou seja, sua magnitude é a mesma em qualquer referencial inercial.
Passo 6
A magnitude do quadrivetor deslocamento é dada por:
Como a velocidade
, podemos reescrever:
Dado que
, temos que
, o que indica que o quadrivetor é do tipo tempo e, portanto, invariante perante transformações de Lorentz.
Passo 7
Isso significa que, se
em um referencial, a condição
será mantida após a aplicação das transformações de Lorentz para qualquer outro referencial inercial
.
Resposta
Assim, mostramos que se um corpo tem velocidade
em um referencial inercial, então
em todos os referenciais inerciais.