Um atleta balança uma bola, conectada à ponta de uma corrente, em um círculo horizontal. O atleta consegue girar a bola a uma taxa de
quando o comprimento da corrente é
. Quando ele aumenta o comprimento para
, consegue girar a bola somente a
. (a) Qual taxa de rotação dá maior velocidade à bola?
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um atleta que está balançando uma bola presa a uma corrente em um círculo horizontal. A questão nos dá duas situações com diferentes comprimentos de corrente e taxas de rotação, e quer saber qual dessas taxas de rotação resulta em uma maior velocidade da bola.
Neste exercício, vamos usar conceitos de movimento circular e velocidade linear. Precisamos entender como a taxa de rotação (em rotações por segundo) e o comprimento da corrente (que é o raio do círculo) influenciam na velocidade da bola.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade linear
de um objeto em movimento circular pode ser calculada usando a fórmula:
Onde:
-
é a velocidade angular em radianos por segundo ( ). -
é o raio do círculo, que neste caso é o comprimento da corrente.
Mas a taxa de rotação que temos está em rotações por segundo (
). Para converter isso para radianos por segundo, usamos a relação:
Onde
é a taxa de rotação em
.
Passo 3
Vamos calcular a velocidade linear para as duas situações dadas.
Primeira Situação:
- Comprimento da corrente (
) = 0,600 m - Taxa de rotação (
) = 8,00
Primeiro, convertemos
para
:
Agora, calculamos
:
Segunda Situação:
- Comprimento da corrente (
) = 0,900 m - Taxa de rotação (
) = 6,00
Convertendo
para
:
Calculando
:
Resposta
Comparando as duas velocidades:
A segunda taxa de rotação,
com comprimento de corrente de
, proporciona uma maior velocidade à bola.