Para um átomo de lítio duplamente ionizado \mathrm{Li}^{2+}(Z=3), qual o número quântico principal do estado em que o elétron tem a mesma energia total que o elétron do estado de repouso (ou estado fundamental) tem no átomo de hidrogênio?

Passo 1

O enunciado pergunta em qual nível (número quântico principal n) do átomo \mathrm{Li}^{2+} (hidrogenoide com Z=3) a energia total do elétron é igual à energia do estado fundamental do átomo de hidrogênio. O conteúdo necessário é o modelo de Bohr para níveis de energia em átomos hidrogenoides.

Passo 2

No modelo de Bohr, a energia de um elétron no nível n de um átomo de número atômico Z é
E_n = -\frac{13,6\,\mathrm{eV}\;Z^2}{n^2}.

Passo 3

Para o hidrogênio Z=1 em seu estado fundamental n=1, temos
E_1(\mathrm{H}) = -\frac{13,6\,\mathrm{eV}\cdot1^2}{1^2} = -13,6\,\mathrm{eV}.

Passo 4

Queremos o n tal que
E_n(\mathrm{Li}^{2+}) = E_1(\mathrm{H}),
ou seja
-\frac{13,6\,\mathrm{eV}\cdot3^2}{n^2} = -13,6\,\mathrm{eV}.

Passo 5

Cancelando -13,6\,\mathrm{eV} em ambos os lados, obtemos
\frac{3^2}{n^2} = 1 \quad\Longrightarrow\quad n^2 = 3^2 \quad\Longrightarrow\quad n = 3.

Resposta

n = 3

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