*16. Um átomo de sódio (Z=11) contém 11 prótons no seu núcleo. Estritamente falando, o modelo de Bohr não se aplica, porque o átomo neutro contém 11 elétrons em vez de um único elétron. Entretanto, podemos aplicar o modelo ao elétron mais externo como uma aproximação, desde que usemos um valor efetivo de Z_{\text {efetivo }} no lugar de 11 para o número de prótons no núcleo. (a) A energia de ionização para o elétron mais externo em um átomo de sódio é igual a 5,1 \mathrm{eV}. Use o modelo de Bohr com Z=Z_{\text {efetivo }} para calcular um valor para Z_{\text {efetivo }}. (b) Usando Z=11 e Z=Z_{\text {efetivo }}, determine os dois valores correspondentes para o raio da órbita de Bohr mais externa.

Passo 1

O modelo de Bohr aplicado ao elétron mais externo leva em conta duas fórmulas principais. A energia de ionização no modelo de Bohr é
E_I = 13,6\,\frac{Z^2}{n^2}\text{ eV}
e o raio da órbita é
r_n = a_0\,\frac{n^2}{Z}
Aqui a_0 = 0,529 Å e para o elétron mais externo de sódio n = 3. No lugar de Z=11 usaremos Z=Z_{\text{efetivo}} para ajustar à energia de ionização real de 5,1 eV.

Passo 2

Para encontrar Z_{\text{efetivo}} substituímos E_I = 5,1 eV na fórmula de energia:
5,1 = 13,6\,\frac{Z_{\text{efetivo}}^2}{3^2}
Isolando Z_{\text{efetivo}}^2 temos
Z_{\text{efetivo}}^2 = \frac{5,1 \times 9}{13,6} = 3,375
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Z_{\text{efetivo}} = \sqrt{3,375} \approx 1,84

Passo 3

Para o raio da órbita mais externa usamos n = 3. Primeiro com Z = 11:
r_{3}(Z=11) = 0,529\,\frac{3^2}{11} = 0,529\,\frac{9}{11} \approx 0,433\text{ Å} = 4,33\times10^{-11}\text{ m}Å
Depois com Z = Z_{\text{efetivo}}:
r_{3}(Z_{\text{efetivo}}) = 0,529\,\frac{9}{1,84} \approx 2,59\text{ Å} = 2,59\times10^{-10}\text{ m}Å

Resposta

(a) \displaystyle Z_{\text{efetivo}}\approx1,84
(b) \displaystyle r_3(Z=11)\approx4,33\times10^{-11}\text{ m};\ \displaystyle r_3(Z_{\text{efetivo}})\approx2,59\times10^{-10}\text{ m}

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