Os átomos de uma molécula de NaCl são separados por uma distância de r=0,280 nm. Calcule (a) a massa reduzida de uma molécula de NaCl , (b) seu momento de inércia, e (c) o comprimento de onda da radiação emitida quando uma molécula de NaCl sofre transição do estado J=2 para o estado J=1.

Passo 1

O enunciado pede propriedades rotacionais de uma molécula diatômica de NaCl com separação entre núcleos r=0,280,nm. O conteúdo usado será: (i) definição de massa reduzida de um sistema de duas partículas, (ii) momento de inércia de um rotor rígido l(I=mu r^2r), e (iii) espectro rotacional quântico, em que os níveis têm energia
EJ = J(J+1)hbar^22I
e a transição J=2to1 emite fóton de energia De<a E = E2 - E1.

Passo 2

Primeiro convertemos as massas atômicas em quilogramas usando 1,u=1,6605times10^-27,kg. As massas são
mNa = 22,99times1,6605times10^-27,kg = 3,82times10^-26,kg,
mCl = 35,45times1,6605times10^-27,kg = 5,89times10^-26,kg
A massa reduzida é
mu = mNa,mClmNa+mCl = (3,82times10^-26)(5,89times10^-26)3,82times10^-26+5,89times10^-26 =2,32times10^-26,kg

Passo 3

O momento de inércia do rotor rígido é
I = mu,r^2,
com r=0,280,nm=2,80times10^-10,m. Logo,
I = (2,32times10^-26,kg),(2,80times10^-10,m)^2 =1,82times10^-45,kg,m^2

Passo 4

A diferença de energia entre J=2 e J=1 é
De<a E = E2 - E1 = 2cdot3,hbar^22I - 1cdot2,hbar^22I = 4,hbar^22I = 2,hbar^2I
O comprimento de onda do fóton emitido satisfaz lambda = hc/De<a E. Assim,
lambda = h,c2,hbar^2/I = h,c,I2,hbar^2 = 2pi^2,I,ch,
onde hbar = h/(2pi). Substituindo h=6,626times10^-34,J,s, c=3,00times10^8,m/s e I=1,82times10^-45,kg,m^2, obtemos
lambda = 1,62times10^-2,m

Resposta

(a) mu = 2,32times10^-26,kg
(b) I = 1,82times10^-45,kg,m^2
(c) lambda = 1,62times10^-2,m

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