A constante de mola eficiente que descreve a energia potencial da molécula HI é 320 N / m, e para a molécula HF é 970 N / m. Calcule a amplitude mínima de vibração para a molécula HI

Passo 1

O enunciado pede a amplitude mínima de vibração para a molécula HI, dado que ela se comporta como um oscilador harmônico quântico de constante de mola eficiente k=320 N/m. Em mecânica quântica, a amplitude mínima corresponde à chamada amplitude de ponto–zero (zero–point amplitude), que vem da energia de ponto–zero
E0 = 12hbaromega
e do fato de que a energia potencial máxima em amplitude x0 é tfrac12k,x0^2.

Passo 2

Calculamos a massa reduzida mu da molécula HI. Usando massas atômicas aproximadas em unidades de massa atômica ( u):
m Happrox1,u, m Iapprox127,u,
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mu = m H,m Im H+m I = 1times1271+127,u = 127128,u approx0,9922,u
Convertendo para quilogramas ( 1,u=1,6605times10^-27,kg):
mu approx0,9922times1,6605times10^-27,kg approx1,647times10^-27,kg

Passo 3

Obtemos a frequência angular omega do oscilador harmônico clássico análogo:
omega = raizkmu = raiz3201,647times10^-27 approx1,39times10^14,rad/s

Passo 4

A amplitude de ponto–zero x0 é tal que tfrac12k,x0^2=E0=tfrac12hbaromega. Daí
x0 = raizhbaromegak = raizhbarraizk,mu ou, mais diretamente, x0 = raizhbar2,mu,omega
Substituindo hbar=1,054times10^-34,J,s,
x0 = raiz1,054times10^-342times1,647times10^-27times1,39times10^14 approx4,8times10^-11,m

Resposta

A amplitude mínima de vibração para a molécula HI é aproximadamente
4,8times10^-11,m

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