Um avião, cuja velocidade é , deve viajar da cidade (na origem) até a cidade , a qual está a uma distância em direção ao leste. Há um vento ameno e constante de tal forma que , onde e são medidos a leste e a norte, respectivamente. Determine o caminho, , no qual o avião deve seguir para minimizar seu tempo de voo, da seguinte forma: (a) Determine a velocidade relativa ao solo em termos de e (o ângulo no qual o avião aponta para o nordeste) e a posição do avião.

Passo 1

Ok, vamos lá! Temos um avião que quer voar da cidade O até a cidade P, que está a uma distância D para o leste. A velocidade do avião no ar (sem vento) é . Mas tem um vento soprando constantemente na direção leste, com velocidade . Queremos descobrir como o avião deve direcionar seu voo (usando um ângulo ) para minimizar o tempo de viagem. Para isso, precisamos entender como a velocidade do avião se combina com a do vento para determinar sua velocidade em relação ao solo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “velocidade relativa ao solo”. É a velocidade do avião considerando tanto a sua própria velocidade no ar ( ) quanto a velocidade do vento ( ). Isso é importante porque o vento vai influenciar a trajetória e a velocidade efetiva do avião em relação ao chão.

Passo 3

Imagine que o avião aponta seu nariz em um certo ângulo em relação ao norte. Podemos dividir a velocidade do avião em duas componentes usando trigonometria:
  • A componente leste (horizontal):
  • A componente norte (vertical):

Passo 4

Agora, vamos considerar o vento. O vento está soprando na direção leste com velocidade . Isso significa que ele vai adicionar essa velocidade à componente leste da velocidade do avião.

Passo 5

Para encontrar a velocidade relativa ao solo ( ), somamos as componentes do avião com as do vento:
  • Componente leste:
  • Componente norte:
Então, a velocidade relativa ao solo fica:

Passo 6

Então, juntando tudo, a velocidade relativa ao solo em termos de , e é:

Resposta

A velocidade relativa ao solo do avião é:

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