Um avião, cuja velocidade é
, deve viajar da cidade
(na origem) até a cidade
, a qual está a uma distância
em direção ao leste. Há um vento ameno e constante de tal forma que
, onde
e
são medidos a leste e a norte, respectivamente. Determine o caminho,
, no qual o avião deve seguir para minimizar seu tempo de voo, da seguinte forma: (a) Determine a velocidade relativa ao solo em termos de
e
(o ângulo no qual o avião aponta para o nordeste) e a posição do avião.
Passo 1
Ok, vamos lá! Temos um avião que quer voar da cidade O até a cidade P, que está a uma distância D para o leste. A velocidade do avião no ar (sem vento) é
. Mas tem um vento soprando constantemente na direção leste, com velocidade
. Queremos descobrir como o avião deve direcionar seu voo (usando um ângulo
) para minimizar o tempo de viagem. Para isso, precisamos entender como a velocidade do avião se combina com a do vento para determinar sua velocidade em relação ao solo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa “velocidade relativa ao solo”. É a velocidade do avião considerando tanto a sua própria velocidade no ar (
) quanto a velocidade do vento (
). Isso é importante porque o vento vai influenciar a trajetória e a velocidade efetiva do avião em relação ao chão.
Passo 3
Imagine que o avião aponta seu nariz em um certo ângulo
em relação ao norte. Podemos dividir a velocidade do avião em duas componentes usando trigonometria:
- A componente leste (horizontal):
- A componente norte (vertical):
Passo 4
Agora, vamos considerar o vento. O vento está soprando na direção leste com velocidade
. Isso significa que ele vai adicionar essa velocidade à componente leste da velocidade do avião.
Passo 5
Para encontrar a velocidade relativa ao solo (
), somamos as componentes do avião com as do vento:
- Componente leste:
- Componente norte:
Então, a velocidade relativa ao solo fica:
Passo 6
Então, juntando tudo, a velocidade relativa ao solo em termos de
,
e
é:
Resposta
A velocidade relativa ao solo do avião é: