Em muitos problemas no cálculo das variações, você precisa conhecer o comprimento
de um pequeno segmento de uma curva sobre uma superfície, como na Expressão (6.1). Crie uma tabela mostrando as expressões apropriadas para
para as oito situações a seguir: (h) o mesmo, mas
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com o cálculo das variações, especificamente calculando o comprimento
de um pequeno segmento de uma curva sobre uma superfície. A situação (h) nos pede para encontrar a expressão de
quando a coordenada
depende de
, ou seja,
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial e coordenadas parametrizadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso indica que a coordenada
não é independente, mas sim uma função de
. Portanto, podemos parametrizar a curva usando apenas
como variável.
Passo 3
Em coordenadas esféricas, o comprimento diferencial
de uma curva pode ser expresso como:
No nosso caso, assumimos que o raio
é constante, então
.
Passo 4
Simplificando a expressão com
, temos:
Passo 5
Fatorando
da expressão dentro da raiz, obtemos:
Passo 6
Portanto, a expressão para o comprimento diferencial
quando
é uma função de
é:
Resposta
A expressão para
quando
é: