Em muitos problemas no cálculo das variações, você precisa conhecer o comprimento de um pequeno segmento de uma curva sobre uma superfície, como na Expressão (6.1). Crie uma tabela mostrando as expressões apropriadas para para as oito situações a seguir: (h) o mesmo, mas

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com o cálculo das variações, especificamente calculando o comprimento de um pequeno segmento de uma curva sobre uma superfície. A situação (h) nos pede para encontrar a expressão de quando a coordenada depende de , ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial e coordenadas parametrizadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso indica que a coordenada não é independente, mas sim uma função de . Portanto, podemos parametrizar a curva usando apenas como variável.

Passo 3

Em coordenadas esféricas, o comprimento diferencial de uma curva pode ser expresso como:
No nosso caso, assumimos que o raio é constante, então .

Passo 4

Simplificando a expressão com , temos:

Passo 5

Fatorando da expressão dentro da raiz, obtemos:

Passo 6

Portanto, a expressão para o comprimento diferencial quando é uma função de é:

Resposta

A expressão para quando é:

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