Determine a equação do caminho que liga a origem
ao ponto
sobre plano
, o qual torna a integral
estacionária.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para encontrarmos a equação do caminho que liga a origem
ao ponto
no plano
, de forma que a integral
seja estacionária. Isso significa que estamos trabalhando com Cálculo de Variações, uma área da matemática que busca funções que tornam uma certa integral extrema (máxima ou mínima).
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que queremos encontrar. Neste caso, buscamos
que descreve o caminho de
a
.
Passo 3
A integral que queremos tornar estacionária é
. Aqui,
representa a derivada de
em relação a
.
Passo 4
Para encontrar a função
que torna essa integral estacionária, usamos a Equação de Euler-Lagrange, que é dada por:
onde
.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Passo 6
Agora, aplicamos a derivada total em relação a
para
:
Passo 7
Substituindo na Equação de Euler-Lagrange:
Simplificando:
Passo 8
Simplificamos a equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem.
Passo 9
Resolvemos a equação diferencial
. A solução geral dessa equação é:
onde
e
são constantes que determinaremos usando as condições de contorno.
Passo 10
Aplicamos as condições de contorno:
- Quando
, :
- Quando
, :
Passo 11
Encontramos
e
:
Passo 12
Substituímos os valores de
e
na solução geral:
Podemos simplificar isso usando funções hiperbólicas:
Resposta
A equação do caminho que torna a integral estacionária é: