Determine a equação do caminho que liga a origem ao ponto sobre plano , o qual torna a integral estacionária.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para encontrarmos a equação do caminho que liga a origem ao ponto no plano , de forma que a integral seja estacionária. Isso significa que estamos trabalhando com Cálculo de Variações, uma área da matemática que busca funções que tornam uma certa integral extrema (máxima ou mínima).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que queremos encontrar. Neste caso, buscamos que descreve o caminho de a .

Passo 3

A integral que queremos tornar estacionária é . Aqui, representa a derivada de em relação a .

Passo 4

Para encontrar a função que torna essa integral estacionária, usamos a Equação de Euler-Lagrange, que é dada por:
onde .

Passo 5

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:

Passo 6

Agora, aplicamos a derivada total em relação a para :

Passo 7

Substituindo na Equação de Euler-Lagrange:
Simplificando:

Passo 8

Simplificamos a equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem.

Passo 9

Resolvemos a equação diferencial . A solução geral dessa equação é:
onde e são constantes que determinaremos usando as condições de contorno.

Passo 10

Aplicamos as condições de contorno:
  1. Quando , :
  1. Quando , :

Passo 11

Encontramos e :

Passo 12

Substituímos os valores de e na solução geral:
Podemos simplificar isso usando funções hiperbólicas:

Resposta

A equação do caminho que torna a integral estacionária é:

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