Em muitos problemas no cálculo das variações, você precisa conhecer o comprimento de um pequeno segmento de uma curva sobre uma superfície, como na Expressão (6.1). Crie uma tabela mostrando as expressões apropriadas para para as oito situações a seguir: (f) o mesmo, mas

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma expressão para o comprimento diferencial de um pequeno segmento de uma curva, especificamente para a situação (f) onde . Isso faz parte do cálculo das variações, que é uma área do cálculo que ajuda a otimizar coisas, tipo encontrar o caminho mais curto. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como calcular em coordenadas que envolvem , que geralmente está relacionada às coordenadas polares ou esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula geral para em coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, temos três variáveis: (o raio), (o ângulo polar) e (o ângulo azimutal). A expressão para em coordenadas esféricas é:

Passo 3

No nosso caso, a situação (f) diz que . Isso significa que estamos considerando uma curva onde a altura depende apenas de . Vamos assumir que estamos trabalhando em coordenadas cilíndricas para simplificar, onde é independente de e .

Passo 4

Em coordenadas cilíndricas, a expressão para é:
Mas como é uma função de , ou seja, , podemos escrever .

Passo 5

Substituindo na expressão de , temos:
Agora, se assumirmos que também pode depender de , ou seja, , então . Substituindo isso, a expressão fica:

Passo 6

Finalmente, podemos fatorar da expressão:

Resposta

A expressão para na situação (f) onde é:

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