Em muitos problemas no cálculo das variações, você precisa conhecer o comprimento
de um pequeno segmento de uma curva sobre uma superfície, como na Expressão (6.1). Crie uma tabela mostrando as expressões apropriadas para
para as oito situações a seguir: (f) o mesmo, mas
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma expressão para o comprimento diferencial
de um pequeno segmento de uma curva, especificamente para a situação (f) onde
. Isso faz parte do cálculo das variações, que é uma área do cálculo que ajuda a otimizar coisas, tipo encontrar o caminho mais curto. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como calcular
em coordenadas que envolvem
, que geralmente está relacionada às coordenadas polares ou esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula geral para
em coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, temos três variáveis:
(o raio),
(o ângulo polar) e
(o ângulo azimutal). A expressão para
em coordenadas esféricas é:
Passo 3
No nosso caso, a situação (f) diz que
. Isso significa que estamos considerando uma curva onde a altura
depende apenas de
. Vamos assumir que estamos trabalhando em coordenadas cilíndricas para simplificar, onde
é independente de
e
.
Passo 4
Em coordenadas cilíndricas, a expressão para
é:
Mas como
é uma função de
, ou seja,
, podemos escrever
.
Passo 5
Substituindo
na expressão de
, temos:
Agora, se assumirmos que
também pode depender de
, ou seja,
, então
. Substituindo isso, a expressão fica:
Passo 6
Finalmente, podemos fatorar
da expressão:
Resposta
A expressão para
na situação (f) onde
é: