Em muitos problemas no cálculo das variações, você precisa conhecer o comprimento de um pequeno segmento de uma curva sobre uma superfície, como na Expressão (6.1). Crie uma tabela mostrando as expressões apropriadas para para as oito situações a seguir: (e) curva dada por sobre um cilindro de raio
Passo 1
Beleza, vamos resolver a parte (e) desse exercício. A questão pede para encontrar a expressão para o comprimento diferencial de um segmento pequeno de uma curva definida por em um cilindro de raio . Aqui, estamos lidando com conceitos de geometria diferencial e cálculo de variações, especificamente trabalhando com coordenadas cilíndricas para determinar o comprimento de uma curva na superfície do cilindro.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como representamos pontos em coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, um ponto é definido por , onde:
é o raio do cilindro,
é o ângulo ao redor do eixo ,
é a altura ao longo do eixo .
Como a curva está sobre o cilindro de raio , o valor de é constante.
Passo 3
Para encontrar o comprimento diferencial de um pequeno segmento da curva, usamos a fórmula do comprimento de arco em coordenadas cilíndricas. A expressão geral para em coordenadas cilíndricas é:
Passo 4
Como a curva está no cilindro de raio constante , a variação em é zero, ou seja, . Portanto, a fórmula simplifica para:
Passo 5
Dado que a curva é especificada por , podemos expressar em termos de . Usando o cálculo diferencial, temos:
Aqui, é a derivada de em relação a .
Passo 6
Substituindo na expressão do , ficamos com:
Passo 7
Podemos fatorar da expressão dentro da raiz:
Passo 8
Finalmente, tirando o da raiz, obtemos a expressão final para :
Resposta
A expressão para o comprimento diferencial da curva sobre um cilindro de raio é:
Física - John R. Taylor. - Mecânica Clássica - 1ª Edição - Capítulo 6.Problemas - Ex. 6.6e