Em muitos problemas no cálculo das variações, você precisa conhecer o comprimento de um pequeno segmento de uma curva sobre uma superfície, como na Expressão (6.1). Crie uma tabela mostrando as expressões apropriadas para para as oito situações a seguir: (e) curva dada por sobre um cilindro de raio

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte (e) desse exercício. A questão pede para encontrar a expressão para o comprimento diferencial de um segmento pequeno de uma curva definida por em um cilindro de raio . Aqui, estamos lidando com conceitos de geometria diferencial e cálculo de variações, especificamente trabalhando com coordenadas cilíndricas para determinar o comprimento de uma curva na superfície do cilindro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como representamos pontos em coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, um ponto é definido por , onde:
  • é o raio do cilindro,
  • é o ângulo ao redor do eixo ,
  • é a altura ao longo do eixo .
Como a curva está sobre o cilindro de raio , o valor de é constante.

Passo 3

Para encontrar o comprimento diferencial de um pequeno segmento da curva, usamos a fórmula do comprimento de arco em coordenadas cilíndricas. A expressão geral para em coordenadas cilíndricas é:

Passo 4

Como a curva está no cilindro de raio constante , a variação em é zero, ou seja, . Portanto, a fórmula simplifica para:

Passo 5

Dado que a curva é especificada por , podemos expressar em termos de . Usando o cálculo diferencial, temos:
Aqui, é a derivada de em relação a .

Passo 6

Substituindo na expressão do , ficamos com:

Passo 7

Podemos fatorar da expressão dentro da raiz:

Passo 8

Finalmente, tirando o da raiz, obtemos a expressão final para :

Resposta

A expressão para o comprimento diferencial da curva sobre um cilindro de raio é:

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