Um avião, que está voando horizontalmente a uma velocidade constante e a uma altitude , deve deixar cair um pacote de suprimentos para um náufrago em um pequeno barco. (a) Escreva a segunda lei de Newton para o pacote à medida que ele cai do avião, assumindo que você pode desprezar a resistência do ar. Resolva suas equações para determinar a posição do pacote no ar como uma função do tempo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um avião voando na horizontal com velocidade constante e a uma altitude . A missão é soltar um pacote para alguém que está em um barco no mar. A gente vai aplicar a segunda lei de Newton para entender como o pacote se move depois que é solto. Para isso, vamos precisar das equações de movimento e entender como a gravidade afeta o pacote.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da segunda lei de Newton, que diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa dele multiplicada pela sua aceleração:

Passo 3

No nosso caso, o pacote está sendo soltado, então a única força atuando nele é a força da gravidade, que puxa o pacote para baixo. Ignorando a resistência do ar, a força resultante é:
onde é a aceleração da gravidade (aproximadamente ).

Passo 4

Aplicando a segunda lei de Newton:
Podemos simplificar dividindo os dois lados por :
Isso significa que a aceleração do pacote é igual à aceleração da gravidade, ou seja, downward.

Passo 5

Agora, vamos determinar a posição do pacote em função do tempo . Como o avião está se movendo horizontalmente com velocidade constante , a posição horizontal do pacote é:

Passo 6

Para a posição vertical , usamos a equação de movimento com aceleração constante:
Aqui, é a altura inicial e subtraímos porque o pacote está caindo.

Passo 7

Então, combinando as posições horizontal e vertical, a posição do pacote no ar em função do tempo é dada por:

Resposta

A posição do pacote no ar em função do tempo é:

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