Se você tem alguma experiência com eletromagnetismo e com cálculo vetorial, mostre que as forças,
e
entre duas correntes circulares estacionárias obedecem à terceira lei de Newton. [Sugestão: sejam as duas correntes
e
e sejam
e
dois pontos típicos sobre os círculos. Se
e
são pequenos segmentos do círculo, então, de acordo com a lei de Biot-Savart, a força sobre
devido a
é
[^0]onde
. A força
é determinada integrando-a em torno de ambos os círculos. Você precisará utilizar a regra "
" para simplificar o produto triplo.]
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede pra gente mostrar que as forças entre duas correntes circulares estacionárias obedecem à terceira lei de Newton. Isso significa que a força que a corrente 1 exerce na corrente 2,
, é igual e oposta à força que a corrente 2 exerce na corrente 1,
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletromagnetismo, especificamente a Lei de Biot-Savart, e um pouco de cálculo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a Lei de Biot-Savart. Ela nos diz como calcular o campo magnético criado por um pequeno segmento de corrente elétrica. A fórmula é:
Aqui,
é a intensidade da corrente,
é um pequeno segmento do fio,
é o vetor que vai de um segmento de corrente para o outro, e
é o vetor unitário na direção de
.
Passo 3
No nosso caso, temos duas correntes circulares,
e
. Vamos considerar dois pontos típicos nessas correntes,
na corrente 1 e
na corrente 2. Os pequenos segmentos
e
geram campos magnéticos que interagem entre si.
A força sobre
devido a
é dada por:
Passo 4
Agora, precisamos simplificar esse produto triplo de vetores. Vamos usar a regra do produto vetorial conhecida como “BAC - CAB”, ou seja:
Aplicando isso na nossa força:
Passo 5
Vamos integrar essa força ao redor de ambas as correntes para obter a força total
:
Passo 6
Agora, vamos analisar
. Pela mesma lógica, trocamos as correntes e os vetores:
Passo 7
Observamos que
é igual a
, e
(porque
). Substituindo essas relações, vemos que:
Resposta
Assim, mostramos que
, ou seja, as forças entre as duas correntes circulares obedecem à terceira lei de Newton.