Definindo o produto escalar
pela Equação
, mostre que o teorema de Pitágoras implica que a magnitude de qualquer vetor
é
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem o produto escalar de dois vetores, definido pela equação
. O objetivo aqui é mostrar que, usando o teorema de Pitágoras, a magnitude (ou comprimento) de qualquer vetor
pode ser calculada como
. Então, vamos precisar entender o que é produto escalar, magnitude de um vetor e como o teorema de Pitágoras se aplica nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do que é a magnitude de um vetor. A magnitude, representada por
, é basicamente o comprimento do vetor
no espaço. Para calcular isso, a gente precisa somar os quadrados das componentes do vetor e depois tirar a raiz quadrada dessa soma.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o produto escalar. Pelo enunciado, temos que
. Quando a gente calcula o produto escalar de um vetor consigo mesmo, ou seja,
, isso vira
. Ou seja, somamos o quadrado de cada componente do vetor
.
Passo 4
Segundo o teorema de Pitágoras, em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Aplicando isso aos vetores, as componentes do vetor
são como os catetos, e a magnitude do vetor é a hipotenusa. Portanto, temos:
Passo 5
Comparando com o produto escalar que fizemos, percebemos que:
Então, podemos substituir na equação do teorema de Pitágoras:
Passo 6
Para encontrar a magnitude
, é só tirar a raiz quadrada de ambos os lados da equação:
Resposta
A magnitude do vetor
é
.