Definindo o produto escalar pela Equação , mostre que o teorema de Pitágoras implica que a magnitude de qualquer vetor é .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem o produto escalar de dois vetores, definido pela equação . O objetivo aqui é mostrar que, usando o teorema de Pitágoras, a magnitude (ou comprimento) de qualquer vetor pode ser calculada como . Então, vamos precisar entender o que é produto escalar, magnitude de um vetor e como o teorema de Pitágoras se aplica nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do que é a magnitude de um vetor. A magnitude, representada por , é basicamente o comprimento do vetor no espaço. Para calcular isso, a gente precisa somar os quadrados das componentes do vetor e depois tirar a raiz quadrada dessa soma.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o produto escalar. Pelo enunciado, temos que . Quando a gente calcula o produto escalar de um vetor consigo mesmo, ou seja, , isso vira . Ou seja, somamos o quadrado de cada componente do vetor .

Passo 4

Segundo o teorema de Pitágoras, em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Aplicando isso aos vetores, as componentes do vetor são como os catetos, e a magnitude do vetor é a hipotenusa. Portanto, temos:

Passo 5

Comparando com o produto escalar que fizemos, percebemos que:
Então, podemos substituir na equação do teorema de Pitágoras:

Passo 6

Para encontrar a magnitude , é só tirar a raiz quadrada de ambos os lados da equação:

Resposta

A magnitude do vetor é .

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