Mostre que a definição (1.9) do produto vetorial é equivalente à definição elementar em que é perpendicular a ambos, com magnitude e direção dada pela regra da mão direita. [Sugestão: é fato que (embora bastante difícil de provar) a definição (1.9) é independente da nossa escolha de eixos. Portanto, você pode escolher eixos de forma que aponte ao longo do eixo e esteja sobre o plano .]

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para mostrar que duas definições do produto vetorial são equivalentes. A definição (1.9) do produto vetorial precisa ser igual à definição básica, onde o vetor resultante é perpendicular aos dois vetores originais, tem magnitude igual a e aponta na direção dada pela regra da mão direita. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre coordenadas e como escolher um sistema que facilite a prova.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher um sistema de coordenadas conveniente. A dica do exercício sugere que a gente pode escolher os eixos de forma que o vetor aponte ao longo do eixo e o vetor esteja no plano . Isso simplifica as contas porque a gente pode representar os vetores de maneira mais simples.

Passo 3

Vamos representar os vetores e nesse sistema de coordenadas escolhido:
  • Seja , já que está alinhado com o eixo .
  • Seja , pois está no plano com um ângulo em relação ao eixo .

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto vetorial usando a definição de determinante:

Passo 5

Calculando o determinante, temos:
Simplificando:

Passo 6

De acordo com a definição elementar do produto vetorial, deve ser perpendicular a ambos e , ter magnitude e direção dada pela regra da mão direita. No nosso cálculo, vimos que o resultado é , que é perpendicular ao plano (onde estão e ), tem a magnitude correta e a direção segue a regra da mão direita (positiva no eixo ).

Resposta

Assim, mostramos que a definição (1.9) do produto vetorial é realmente equivalente à definição elementar, já que ambos resultam em um vetor perpendicular a e com magnitude e direção conforme a regra da mão direita.

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