Uma bala de massa igual a 2 g atinge com velocidade de um pêndulo balístico de massa igual a 1 kg . O comprimento do pêndulo é igual a 1 m . A bala penetra no pêndulo e o atravessa, emergindo com velocidade de . Que ângulo forma com a vertical quando o pêndulo atinge sua elevação máxima?

Passo 1

Vamos começar resumindo o que o exercício nos apresenta e identificar quais conceitos precisamos utilizar para resolvê-lo. Temos uma bala com massa de 2 g (0,002 kg) que atinge um pêndulo balístico de massa 1 kg com uma velocidade inicial de . A bala atravessa o pêndulo e sai com uma velocidade de . O pêndulo tem um comprimento de 1 metro. Nosso objetivo é encontrar o ângulo que o pêndulo forma com a vertical quando atinge sua elevação máxima.
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de conservação da quantidade de movimento e energia mecânica. Precisaremos calcular a quantidade de movimento antes e depois da bala atravessar o pêndulo e, em seguida, determinar a altura que o pêndulo alcança, convertendo essa altura em um ângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a quantidade de movimento (momentum) da bala antes e depois de atravessar o pêndulo. A quantidade de movimento é dada por:
Onde:
  • é a quantidade de movimento,
  • é a massa,
  • é a velocidade.
Antes da colisão:
Depois da colisão:
A quantidade de movimento após a bala passar pelo pêndulo é a soma da quantidade de movimento da bala e do pêndulo:
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Então, a velocidade do pêndulo imediatamente após a bala passar por ele é de .

Passo 3

Agora, vamos calcular a altura máxima que o pêndulo alcança usando a conservação da energia mecânica. A energia cinética do pêndulo logo após a colisão será convertida em energia potencial gravitacional no ponto mais alto da sua trajetória.
A energia cinética ( ) é dada por:
A energia potencial gravitacional ( ) é:
Onde:
  • é a aceleração da gravidade ( ),
  • é a altura alcançada.
Igualando as duas energias:
Podemos simplificar de ambos os lados:
Substituindo os valores:
Então, a altura máxima que o pêndulo alcança é de aproximadamente .

Passo 4

Com a altura conhecida, podemos determinar o ângulo que o pêndulo forma com a vertical no ponto mais alto. A relação entre a altura, o comprimento do pêndulo e o ângulo é dada por:
Resolvendo para :
Substituindo os valores:
Agora, encontramos o ângulo usando a função arco-cosseno:

Resposta

O ângulo que o pêndulo forma com a vertical na sua elevação máxima é aproximadamente .

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