Uma bala de massa igual a 2 g atinge com velocidade de
um pêndulo balístico de massa igual a 1 kg . O comprimento do pêndulo é igual a 1 m . A bala penetra no pêndulo e o atravessa, emergindo com velocidade de
. Que ângulo forma com a vertical quando o pêndulo atinge sua elevação máxima?
Passo 1
Vamos começar resumindo o que o exercício nos apresenta e identificar quais conceitos precisamos utilizar para resolvê-lo. Temos uma bala com massa de 2 g (0,002 kg) que atinge um pêndulo balístico de massa 1 kg com uma velocidade inicial de
. A bala atravessa o pêndulo e sai com uma velocidade de
. O pêndulo tem um comprimento de 1 metro. Nosso objetivo é encontrar o ângulo que o pêndulo forma com a vertical quando atinge sua elevação máxima.
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de conservação da quantidade de movimento e energia mecânica. Precisaremos calcular a quantidade de movimento antes e depois da bala atravessar o pêndulo e, em seguida, determinar a altura que o pêndulo alcança, convertendo essa altura em um ângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a quantidade de movimento (momentum) da bala antes e depois de atravessar o pêndulo. A quantidade de movimento é dada por:
Onde:
-
é a quantidade de movimento, -
é a massa, -
é a velocidade.
Antes da colisão:
Depois da colisão:
A quantidade de movimento após a bala passar pelo pêndulo é a soma da quantidade de movimento da bala e do pêndulo:
A quantidade de movimento após a bala passar pelo pêndulo é a soma da quantidade de movimento da bala e do pêndulo:
Então, a velocidade do pêndulo imediatamente após a bala passar por ele é de
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a altura máxima que o pêndulo alcança usando a conservação da energia mecânica. A energia cinética do pêndulo logo após a colisão será convertida em energia potencial gravitacional no ponto mais alto da sua trajetória.
A energia cinética (
) é dada por:
A energia potencial gravitacional (
) é:
Onde:
-
é a aceleração da gravidade ( ), -
é a altura alcançada.
Igualando as duas energias:
Podemos simplificar
de ambos os lados:
Substituindo os valores:
Então, a altura máxima que o pêndulo alcança é de aproximadamente
.
Passo 4
Com a altura
conhecida, podemos determinar o ângulo
que o pêndulo forma com a vertical no ponto mais alto. A relação entre a altura, o comprimento do pêndulo
e o ângulo
é dada por:
Resolvendo para
:
Substituindo os valores:
Agora, encontramos o ângulo
usando a função arco-cosseno:
Resposta
O ângulo que o pêndulo forma com a vertical na sua elevação máxima é aproximadamente
.