Uma balsa transporta turistas entre três ilhas. Ela navega da primeira ilha para a segunda a de distância, em uma direçāo a norte do leste. Em seguida, navega da segunda ilha para a terceira em uma direção a oeste do norte. Finalmente, ela retorna para a primeira ilha, navegando em uma direção a leste do sul. Calcule a distância entre (a) a segunda e a terceira ilhas

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma balsa que transporta turistas entre três ilhas, com trajetos específicos e direções dadas. Nosso objetivo aqui é calcular a distância entre a segunda e a terceira ilha. Para isso, vamos usar trigonometria e análise vetorial. Precisaremos decompor as direções nos eixos X e Y e montar um sistema de equações para encontrar a distância que está faltando.

Passo 2

Primeiro, vamos representar cada trecho da viagem como vetores com componentes nos eixos X (leste-oeste) e Y (norte-sul).
  1. Primeira viagem (Ilha 1 para Ilha 2):
    • Distância:
    • Direção: ao norte do leste.
    Decompomos esse vetor:
  2. Segunda viagem (Ilha 2 para Ilha 3):
    • Distância: km (o que queremos encontrar)
    • Direção: a oeste do norte.
    Decompomos esse vetor:
    é
  3. Terceira viagem (Ilha 3 para Ilha 1):
    • Direção: a leste do sul.
    Como ela retorna para a primeira ilha, a soma dos três vetores deve ser zero:
    Mas como não temos a distância desse trecho, vamos focar nas componentes conhecidas.

Passo 3

Como a balsa retorna à Ilha 1, a soma das componentes X e Y de todos os vetores deve ser zero. Ou seja:
Isso nos dá um sistema de duas equações que podemos resolver para encontrar a distância entre a segunda e a terceira ilha.

Passo 4

Vamos calcular as componentes conhecidas:
  1. Para o trecho Ilha 1 para Ilha 2:
  2. Para o trecho Ilha 2 para Ilha 3:

Passo 5

Agora, aplicamos a condição de que a soma das componentes X e Y é zero:
  1. Para o eixo X:
    Mas como não temos mais trechos, podemos considerar que . Porém, para simplificar, focamos apenas na relação entre as componentes conhecidas.
  2. Para o eixo Y:
Como e são desconhecidos, precisamos de outra abordagem. Melhor usar as relações triangulares.

Passo 6

Vamos considerar que os vetores formam um triângulo fechado. Usando a Lei dos Cossenos para encontrar a distância :
Contudo, sem a distância de , é mais direto usar as componentes X e Y para resolver o sistema:
  1. Soma das componentes X:

Resposta

A distância entre a segunda e a terceira ilha é aproximadamente .

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