Uma balsa transporta turistas entre três ilhas. Ela navega da primeira ilha para a segunda a
de distância, em uma direçāo
a norte do leste. Em seguida, navega da segunda ilha para a terceira em uma direção
a oeste do norte. Finalmente, ela retorna para a primeira ilha, navegando em uma direção
a leste do sul. Calcule a distância entre (a) a segunda e a terceira ilhas
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma balsa que transporta turistas entre três ilhas, com trajetos específicos e direções dadas. Nosso objetivo aqui é calcular a distância entre a segunda e a terceira ilha. Para isso, vamos usar trigonometria e análise vetorial. Precisaremos decompor as direções nos eixos X e Y e montar um sistema de equações para encontrar a distância que está faltando.
Passo 2
Primeiro, vamos representar cada trecho da viagem como vetores com componentes nos eixos X (leste-oeste) e Y (norte-sul).
-
Primeira viagem (Ilha 1 para Ilha 2):
- Distância:
- Direção:
ao norte do leste.
Decompomos esse vetor: - Distância:
-
Segunda viagem (Ilha 2 para Ilha 3):
- Distância:
km (o que queremos encontrar) - Direção:
a oeste do norte.
Decompomos esse vetor: - Distância:
-
Terceira viagem (Ilha 3 para Ilha 1):
- Direção:
a leste do sul.
Como ela retorna para a primeira ilha, a soma dos três vetores deve ser zero:Mas como não temos a distância desse trecho, vamos focar nas componentes conhecidas. - Direção:
Passo 3
Como a balsa retorna à Ilha 1, a soma das componentes X e Y de todos os vetores deve ser zero. Ou seja:
Isso nos dá um sistema de duas equações que podemos resolver para encontrar a distância
entre a segunda e a terceira ilha.
Passo 4
Vamos calcular as componentes conhecidas:
-
Para o trecho Ilha 1 para Ilha 2:
-
Para o trecho Ilha 2 para Ilha 3:
Passo 5
Agora, aplicamos a condição de que a soma das componentes X e Y é zero:
-
Para o eixo X:Mas como não temos mais trechos, podemos considerar que
. Porém, para simplificar, focamos apenas na relação entre as componentes conhecidas. -
Para o eixo Y:
Como
e
são desconhecidos, precisamos de outra abordagem. Melhor usar as relações triangulares.
Passo 6
Vamos considerar que os vetores formam um triângulo fechado. Usando a Lei dos Cossenos para encontrar a distância
:
Contudo, sem a distância de
, é mais direto usar as componentes X e Y para resolver o sistema:
- Soma das componentes X:
Resposta
A distância entre a segunda e a terceira ilha é aproximadamente
.