Uma bola é atirada para cima em um plano inclinado com velocidade inicial . O plano está inclinado com um ângulo com a horizontal e a velocidade inicial da bola tem um ângulo acima do plano. Escolha eixos medido na direção para cima da inclinação, normal à inclinação e transversal à inclinação. Escreva a segunda lei de Newton usando estes eixos e determine a posição da bola como função do tempo. Mostre que a bola aterrissa a uma distância do ponto em que ela foi lançada. Mostre que, para dados e , o alcance máximo da bola acima da inclinação é á.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma bola que é lançada para cima em um plano inclinado. A velocidade inicial dela é e o plano faz um ângulo com a horizontal. A velocidade inicial tem um ângulo acima do plano. Vamos usar a segunda lei de Newton para encontrar a posição da bola em função do tempo e depois determinar a distância onde a bola aterrissa. Por fim, vamos achar o alcance máximo á da bola. Para isso, vamos precisar entender as componentes das forças e das velocidades no sistema de eixos escolhido.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher um sistema de coordenadas que facilite nossa análise. Vamos definir:
  • O eixo na direção para cima da inclinação do plano.
  • O eixo perpendicular (normal) à inclinação.
  • O eixo transversal à inclinação (que não vai influenciar no nosso caso, já que não há movimento nessa direção).

Passo 3

Agora, aplicando a segunda lei de Newton nos eixos e . A segunda lei de Newton diz que , onde é a força resultante, é a massa e é a aceleração.
No eixo :
  • A componente da velocidade inicial na direção é .
  • A aceleração na direção vem da componente da gravidade: .
Então, a equação de movimento no eixo é:
No eixo :
  • A componente da velocidade inicial na direção é .
  • A aceleração na direção é devido à componente da gravidade: .
Então, a equação de movimento no eixo é:

Passo 4

Vamos agora integrar as equações de movimento para encontrar as velocidades e as posições em função do tempo.
Para o eixo :
Para o eixo :

Passo 5

A bola aterrissa quando retorna à posição . Vamos encontrar o tempo quando isso acontece.
Fatorando :
Desconsideramos (instante do lançamento), então:

Passo 6

Agora, vamos calcular a distância no eixo no instante encontrado.
Substituindo :
Simplificando:
Fatorando :
Usando a identidade trigonométrica :

Passo 7

Para encontrar o alcance máximo á, vamos otimizar em relação ao ângulo .
Podemos observar que para dado e , o alcance máximo ocorre quando , ou seja, .
Substituindo na expressão de :
á
Sabendo que e , percebemos que precisamos reavaliar o método de otimização.
Uma abordagem mais direta é derivar em relação a e igualar a zero:
Calculando a derivada de em relação a :
Para :
Substituindo em :
á
Usando identidades trigonométricas, simplificamos para:
á

Resposta

A distância onde a bola aterrissa é e o alcance máximo da bola acima da inclinação é á.

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