Uma bola é atirada para cima em um plano inclinado com velocidade inicial
. O plano está inclinado com um ângulo
com a horizontal e a velocidade inicial da bola tem um ângulo
acima do plano. Escolha eixos
medido na direção para cima da inclinação,
normal à inclinação e
transversal à inclinação. Escreva a segunda lei de Newton usando estes eixos e determine a posição da bola como função do tempo. Mostre que a bola aterrissa a uma distância
do ponto em que ela foi lançada. Mostre que, para dados
e
, o alcance máximo da bola acima da inclinação é
.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma bola que é lançada para cima em um plano inclinado. A velocidade inicial dela é
e o plano faz um ângulo
com a horizontal. A velocidade inicial tem um ângulo
acima do plano. Vamos usar a segunda lei de Newton para encontrar a posição da bola em função do tempo e depois determinar a distância
onde a bola aterrissa. Por fim, vamos achar o alcance máximo
da bola. Para isso, vamos precisar entender as componentes das forças e das velocidades no sistema de eixos escolhido.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher um sistema de coordenadas que facilite nossa análise. Vamos definir:
- O eixo
na direção para cima da inclinação do plano. - O eixo
perpendicular (normal) à inclinação. - O eixo
transversal à inclinação (que não vai influenciar no nosso caso, já que não há movimento nessa direção).
Passo 3
Agora, aplicando a segunda lei de Newton nos eixos
e
. A segunda lei de Newton diz que
, onde
é a força resultante,
é a massa e
é a aceleração.
No eixo
:
- A componente da velocidade inicial na direção
é . - A aceleração na direção
vem da componente da gravidade: .
Então, a equação de movimento no eixo
é:
No eixo
:
- A componente da velocidade inicial na direção
é . - A aceleração na direção
é devido à componente da gravidade: .
Então, a equação de movimento no eixo
é:
Passo 4
Vamos agora integrar as equações de movimento para encontrar as velocidades e as posições em função do tempo.
Para o eixo
:
Para o eixo
:
Passo 5
A bola aterrissa quando retorna à posição
. Vamos encontrar o tempo
quando isso acontece.
Fatorando
:
Desconsideramos
(instante do lançamento), então:
Passo 6
Agora, vamos calcular a distância
no eixo
no instante
encontrado.
Substituindo
:
Simplificando:
Fatorando
:
Usando a identidade trigonométrica
:
Passo 7
Para encontrar o alcance máximo
, vamos otimizar
em relação ao ângulo
.
Podemos observar que para dado
e
, o alcance máximo ocorre quando
, ou seja,
.
Substituindo
na expressão de
:
Sabendo que
e
, percebemos que precisamos reavaliar o método de otimização.
Uma abordagem mais direta é derivar
em relação a
e igualar a zero:
Calculando a derivada de
em relação a
:
Para
:
Substituindo
em
:
Usando identidades trigonométricas, simplificamos para:
Resposta
A distância onde a bola aterrissa é
e o alcance máximo da bola acima da inclinação é
.