Um avião, que está voando horizontalmente a uma velocidade constante e a uma altitude , deve deixar cair um pacote de suprimentos para um náufrago em um pequeno barco. (a) Escreva a segunda lei de Newton para o pacote à medida que ele cai do avião, assumindo que você pode desprezar a resistência do ar. Resolva suas equações para determinar a posição do pacote no ar como uma função do tempo . (b) A que distância antes do barco (medida horizontalmente) o piloto deve largar o pacote se este deve acertar o barco? Qual é essa distância se e ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre um avião que está voando horizontalmente a uma velocidade constante e a uma altitude . O objetivo é determinar onde o piloto deve soltar um pacote para que ele caia diretamente no barco de um náufrago. Vamos precisar usar a segunda lei de Newton e entender um pouco de cinemática para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte (a) do exercício. A segunda lei de Newton nos diz que a força resultante sobre um objeto é igual à sua massa multiplicada pela aceleração ( ). No caso do pacote, a única força atuando verticalmente é a gravidade, já que estamos desprezando a resistência do ar.

Passo 3

Vamos separar o movimento do pacote em duas direções: horizontal e vertical.
  • Movimento horizontal: Como não há forças atuando na direção horizontal (apenas a velocidade constante do avião ), a velocidade horizontal do pacote permanece constante durante a queda.
  • Movimento vertical: Aqui, a única força é a gravidade, que causa uma aceleração para baixo.

Passo 4

Para o movimento vertical, aplicamos a segunda lei de Newton:
Sabemos que , então:
Simplificando, a aceleração é igual a :
Isso significa que a aceleração vertical do pacote é constante e igual à aceleração da gravidade.

Passo 5

Agora, vamos definir as equações de movimento para as duas direções.
  • Horizontal:
A posição horizontal em função do tempo é dada por:
  • Vertical:
A posição vertical em função do tempo é dada por:
Aqui, é a altura inicial e usamos a equação do movimento uniformemente acelerado.

Passo 6

Agora, temos a posição do pacote em função do tempo para ambas as direções:
Essas equações nos dizem onde o pacote estará a cada instante de tempo após ser solto.

Passo 7

Passando para a parte (b), queremos saber a distância horizontal antes do barco que o piloto deve soltar o pacote para que ele acerte o barco. Para isso, precisamos descobrir o tempo que o pacote leva para cair do avião até o nível do mar (ou do barco), e então usar esse tempo para calcular a distância horizontal.

Passo 8

Vamos encontrar o tempo que o pacote leva para cair a uma altura . Usando a equação vertical:
Resolvendo para :

Passo 9

Agora que temos o tempo de queda, podemos usar a equação horizontal para encontrar a distância:
Essa é a distância que o piloto deve manter antes do barco para soltar o pacote.

Passo 10

Vamos agora substituir os valores fornecidos:
Calculando o tempo de queda:
Então, a distância horizontal será:

Resposta

O piloto deve largar o pacote aproximadamente a 224 metros antes do barco para que ele acerte o náufrago.

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