A posição de uma partícula em movimento é dada como uma função do tempo por
onde
são constantes. Descreva a órbita da partícula.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para descrever a órbita de uma partícula cujo movimento é dado por uma função da posição em termos do tempo. Estamos lidando com cinemática no espaço tridimensional, e para resolver isso, vamos analisar cada componente da posição para entender como a partícula se move ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a função da posição:
Aqui, cada termo representa a posição nas direções x, y e z respectivamente, em função do tempo t. As constantes b, c, v₀ e ω determinam a amplitude e a frequência do movimento.
Passo 3
Vamos analisar cada componente:
- x(t) = b cos(ωt): Isso descreve um movimento harmônico simples ao longo do eixo x com amplitude b e frequência angular ω.
- y(t) = c sin(ωt): Similarmente, isso descreve um movimento harmônico simples ao longo do eixo y com amplitude c e a mesma frequência angular ω.
- z(t) = v₀ t: Este termo indica que a partícula se move com velocidade constante v₀ ao longo do eixo z.
Passo 4
Para entender a trajetória completa, vamos eliminar o tempo t e relacionar x, y e z diretamente. Observamos que:
Isso nos mostra que a projeção do movimento no plano xy forma uma elipse (ou círculo se b = c), já que a soma dos quadrados das funções trigonométricas resulta em 1.
Passo 5
Enquanto a partícula faz esse movimento elíptico no plano xy, ela também se desloca uniformemente ao longo do eixo z. Isso significa que, para cada ciclo completo no plano xy, a partícula avança uma distância proporcional a v₀ no eixo z.
Resposta
A órbita da partícula é uma hélice elíptica que gira no plano xy enquanto se desloca linearmente ao longo do eixo z. Em termos simples, a partícula se move em uma trajetória espiralada no espaço tridimensional.