Use a definição (1.7) para mostrar que o produto escalar é distributivo, isto é, .

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado pede para mostrar que o produto escalar é distributivo usando a definição (1.7). Basicamente, estamos trabalhando com produto escalar (também conhecido como produto interno) e distributividade. Para isso, vamos precisar entender como calcular o produto escalar e como somar vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição do produto escalar. Se temos dois vetores e , o produto escalar é dado por:
Isso significa que multiplicamos as componentes correspondentes dos vetores e depois somamos esses produtos.

Passo 3

Agora, vamos considerar o vetor . Se e , então:
Isso é simplesmente a soma das componentes dos vetores e .

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar . Usando a definição do produto escalar:
Aqui, multiplicamos cada componente de pelas correspondentes em .

Passo 5

Vamos distribuir as multiplicações:
Portanto, substituindo de volta:

Passo 6

Agora, vamos agrupar os termos:
Observe que a primeira soma é e a segunda é .

Passo 7

Então, temos:
Isso mostra que o produto escalar é distributivo em relação à adição de vetores.

Resposta

Portanto, demonstramos que , confirmando que o produto escalar é distributivo.

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