Use a definição (1.7) para mostrar que o produto escalar é distributivo, isto é,
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado pede para mostrar que o produto escalar é distributivo usando a definição (1.7). Basicamente, estamos trabalhando com produto escalar (também conhecido como produto interno) e distributividade. Para isso, vamos precisar entender como calcular o produto escalar e como somar vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição do produto escalar. Se temos dois vetores
e
, o produto escalar é dado por:
Isso significa que multiplicamos as componentes correspondentes dos vetores e depois somamos esses produtos.
Passo 3
Agora, vamos considerar o vetor
. Se
e
, então:
Isso é simplesmente a soma das componentes dos vetores
e
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto escalar
. Usando a definição do produto escalar:
Aqui, multiplicamos cada componente de
pelas correspondentes em
.
Passo 5
Vamos distribuir as multiplicações:
Portanto, substituindo de volta:
Passo 6
Agora, vamos agrupar os termos:
Observe que a primeira soma é
e a segunda é
.
Passo 7
Então, temos:
Isso mostra que o produto escalar é distributivo em relação à adição de vetores.
Resposta
Portanto, demonstramos que
, confirmando que o produto escalar é distributivo.