Uma bola de borracha é largada, sem velocidade inicial, de uma altura acima de um plano horizontal. Após cada colisão com o plano a bola é projetada para cima, atingindo uma altura , onde é a altura antes de uma dada colisão e y é a altura atingida depois da colisão considerada. Determine: o comprimento total do caminho percorrido pela bola desde o instante inicial até em que ela fica em repouso sobre o plano horizontal,

Passo 1

Então, temos um problema de física que envolve cinemática e séries geométricas. A questão fala sobre uma bola de borracha sendo largada de uma certa altura e, a cada vez que ela bate no chão, ela retorna a uma fração dessa altura. Vamos precisar entender como a bola se move para calcular a distância total que ela percorre até parar.

Passo 2

Primeiro, a bola é largada do repouso de uma altura inicial . Como não tem velocidade inicial, ela simplesmente cai até o chão. A distância percorrida nessa fase é exatamente .

Passo 3

Quando a bola atinge o chão, ela bate e se projeta de volta para cima, alcançando uma altura , onde é a altura de onde a bola caiu antes da colisão. No primeiro impacto, , então a bola sobe até uma altura de .
Depois de atingir essa altura, a bola cai novamente, percorrendo mais . Então, após o primeiro quique, a bola percorreu uma distância total de .

Passo 4

Cada vez que a bola bate no chão, ela atinge da altura anterior. Isso cria uma progressão geométrica, onde cada termo é do termo anterior. A distância percorrida em cada quique é, portanto, , onde é o número do quique.

Passo 5

Para encontrar a distância total , somamos todas as distâncias percorridas:
Isso é uma série infinita do tipo série geométrica. A soma de uma série geométrica infinita onde a razão está entre -1 e 1 é dada por:
Aqui, o primeiro termo após é e a razão .

Passo 6

Calculando a soma da série geométrica:
çõ
Agora, somamos a altura inicial:

Passo 7

Substituindo o valor de :

Resposta

.

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