Uma bola de borracha é largada, sem velocidade inicial, de uma altura
acima de um plano horizontal. Após cada colisão com o plano a bola é projetada para cima, atingindo uma altura
, onde
é a altura antes de uma dada colisão e y é a altura atingida depois da colisão considerada. Determine: o comprimento total
do caminho percorrido pela bola desde o instante inicial até em que ela fica em repouso sobre o plano horizontal,
Passo 1
Então, temos um problema de física que envolve cinemática e séries geométricas. A questão fala sobre uma bola de borracha sendo largada de uma certa altura e, a cada vez que ela bate no chão, ela retorna a uma fração dessa altura. Vamos precisar entender como a bola se move para calcular a distância total que ela percorre até parar.
Passo 2
Primeiro, a bola é largada do repouso de uma altura inicial
. Como não tem velocidade inicial, ela simplesmente cai até o chão. A distância percorrida nessa fase é exatamente
.
Passo 3
Quando a bola atinge o chão, ela bate e se projeta de volta para cima, alcançando uma altura
, onde
é a altura de onde a bola caiu antes da colisão. No primeiro impacto,
, então a bola sobe até uma altura de
.
Depois de atingir essa altura, a bola cai novamente, percorrendo mais
. Então, após o primeiro quique, a bola percorreu uma distância total de
.
Passo 4
Cada vez que a bola bate no chão, ela atinge
da altura anterior. Isso cria uma progressão geométrica, onde cada termo é
do termo anterior. A distância percorrida em cada quique é, portanto,
, onde
é o número do quique.
Passo 5
Para encontrar a distância total
, somamos todas as distâncias percorridas:
Isso é uma série infinita do tipo série geométrica. A soma de uma série geométrica infinita onde a razão
está entre -1 e 1 é dada por:
Aqui, o primeiro termo
após
é
e a razão
.
Passo 6
Calculando a soma da série geométrica:
Agora, somamos a altura inicial:
Passo 7
Substituindo o valor de
: