Depois que uma bola rola para fora da borda de uma mesa horizontal em um instante , sua velocidade em função do tempo é dada por
onde está em metros por segundo e em segundos. O deslocamento da bola para longe da borda da mesa durante o intervalo de tempo de pelo qual a bola está no ar é dado por
Para efetuar a integral, você pode usar o teorema de cálculo
Você pode considerar as unidades e os vetores unitários como constantes, representadas por e . Efetue a integral para calcular o deslocamento da bola a partir da borda da mesa a .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma bola que rola para fora da borda de uma mesa horizontal no instante , com uma velocidade que varia com o tempo. Queremos calcular o deslocamento da bola a partir da borda da mesa após segundos, utilizando cálculo integral. Para isso, vamos precisar aplicar o conceito de integração de vetores, usando o teorema do cálculo.
Passo 2
A velocidade da bola é dada pela função vetorial:
Aqui, e são os vetores unitários nas direções e , respectivamente. A velocidade é constante, pois não depende de .
Passo 3
O deslocamento é calculado pela integral da velocidade em relação ao tempo, no intervalo de a s:
Passo 4
Aplicando a propriedade da integral para somas e constantes, temos:
Os vetores unitários e os coeficientes são constantes e podem ser trazidos para fora da integral.
Passo 5
Integramos cada componente separadamente:
Para a componente :
Para a componente :
Passo 6
Agora, combinamos as componentes vetoriais para obter o deslocamento total:
Resposta
O deslocamento da bola a partir da borda da mesa após segundos é:
Física - Serway e Jewett - Física para cientistas e engenheiros - Vol1 - 1ª Edição - Capítulo 3.Problemas - Ex. 56