Calcule a amplitude de espalhamento na aproximação de Born para o espalhamento de esfera maleável em energia arbitrária. Demonstre que sua fórmula é reduzida à Equação 11.82 no limite de baixa energia.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular a amplitude de espalhamento usando a aproximação de Born para o espalhamento de uma esfera maleável em qualquer energia. Além disso, precisamos mostrar que essa fórmula se reduz à Equação 11.82 quando consideramos baixa energia. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre a teoria de espalhamento, a aproximação de Born e como aplicar isso a uma esfera maleável. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a aproximação de Born. É uma técnica utilizada na teoria de espalhamento quântico para calcular a amplitude de espalhamento quando a potencial de interação é fraca. Basicamente, ela nos permite aproximar a solução da equação de Schrödinger para partículas que interagem fracamente.

Passo 3

A amplitude de espalhamento na aproximação de Born é dada pela integral:
onde:
  • é a massa da partícula,
  • é a constante de Planck dividida por ,
  • é o potencial,
  • é o vetor transferência de momento,
  • é o ângulo de espalhamento.

Passo 4

No caso de uma esfera maleável, o potencial é geralmente assumido como um potencial esférico. Vamos considerar que a esfera tem um raio e um potencial constante dentro dessa esfera, e zero fora. Então:

Passo 5

Vamos substituir esse potencial na expressão da amplitude de espalhamento:

Passo 6

Agora, precisamos avaliar a integral tridimensional. Usando coordenadas esféricas e aproveitando a simetria do problema, podemos simplificar a integral. O termo pode ser expandido usando a série de expansões harmônicas, mas para simplificação, usaremos a forma direta.

Passo 7

A integral se reduz a:
onde e é o ângulo entre e .

Passo 8

Integrando sobre de 0 a , obtemos um fator de . Em seguida, integrando sobre :

Passo 9

Portanto, a integral total fica:

Passo 10

Resolvendo a integral , obtemos:

Passo 11

Substituindo de volta, temos:

Passo 12

Simplificando a expressão, a amplitude de espalhamento fica:

Passo 13

Agora, vamos analisar o limite de baixa energia, onde . Nesse caso, podemos expandir as funções trigonométricas em séries de Taylor:

Passo 14

Substituindo essas aproximações na expressão de :

Passo 15

Simplificando:

Resposta

Portanto, na aproximação de Born para o espalhamento de uma esfera maleável em energia arbitrária, a amplitude de espalhamento é dada por:
E, no limite de baixa energia ( ), essa expressão se reduz à:
que corresponde à Equação 11.82 no contexto do problema.

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