Calcule a amplitude de espalhamento na aproximação de Born para o espalhamento de esfera maleável em energia arbitrária. Demonstre que sua fórmula é reduzida à Equação 11.82 no limite de baixa energia.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular a amplitude de espalhamento usando a aproximação de Born para o espalhamento de uma esfera maleável em qualquer energia. Além disso, precisamos mostrar que essa fórmula se reduz à Equação 11.82 quando consideramos baixa energia. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre a teoria de espalhamento, a aproximação de Born e como aplicar isso a uma esfera maleável. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a aproximação de Born. É uma técnica utilizada na teoria de espalhamento quântico para calcular a amplitude de espalhamento quando a potencial de interação é fraca. Basicamente, ela nos permite aproximar a solução da equação de Schrödinger para partículas que interagem fracamente.
Passo 3
A amplitude de espalhamento
na aproximação de Born é dada pela integral:
onde:
-
é a massa da partícula, -
é a constante de Planck dividida por , -
é o potencial, -
é o vetor transferência de momento, -
é o ângulo de espalhamento.
Passo 4
No caso de uma esfera maleável, o potencial
é geralmente assumido como um potencial esférico. Vamos considerar que a esfera tem um raio
e um potencial constante
dentro dessa esfera, e zero fora. Então:
Passo 5
Vamos substituir esse potencial na expressão da amplitude de espalhamento:
Passo 6
Agora, precisamos avaliar a integral tridimensional. Usando coordenadas esféricas e aproveitando a simetria do problema, podemos simplificar a integral. O termo
pode ser expandido usando a série de expansões harmônicas, mas para simplificação, usaremos a forma direta.
Passo 7
A integral se reduz a:
onde
e
é o ângulo entre
e
.
Passo 8
Integrando sobre
de 0 a
, obtemos um fator de
. Em seguida, integrando sobre
:
Passo 9
Portanto, a integral total fica:
Passo 10
Resolvendo a integral
, obtemos:
Passo 11
Substituindo de volta, temos:
Passo 12
Simplificando a expressão, a amplitude de espalhamento fica:
Passo 13
Agora, vamos analisar o limite de baixa energia, onde
. Nesse caso, podemos expandir as funções trigonométricas em séries de Taylor:
Passo 14
Substituindo essas aproximações na expressão de
:
Passo 15
Simplificando:
Resposta
Portanto, na aproximação de Born para o espalhamento de uma esfera maleável em energia arbitrária, a amplitude de espalhamento é dada por:
E, no limite de baixa energia (
), essa expressão se reduz à:
que corresponde à Equação 11.82 no contexto do problema.