Uma partícula de massa e energia é incidente a partir da esquerda no potencial
(a) Se a onda de entrada é (em que , calcule a onda refletida. Resposta:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma partícula com massa e energia que está se movendo em direção a um potencial que varia conforme a posição . O potencial é definido da seguinte forma:
Isso significa que para , o potencial é zero; entre e , o potencial é negativo, e para , o potencial é infinito, o que basicamente impede a partícula de entrar nessa região. Vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente de funções de onda e barreiras de potencial, para calcular a onda refletida quando a partícula incide na região do potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função de onda de uma partícula livre (quando o potencial é zero) pode ser representada por uma combinação de ondas que se movem para a direita e para a esquerda. No nosso caso, a onda incidente é dada por , onde .
Para resolver o problema, precisamos considerar as diferentes regiões do potencial e escrever a função de onda em cada uma delas.
Passo 3
Na região , onde , a função de onda pode ser escrita como a soma da onda incidente e da onda refletida:
Aqui, é a onda incidente e é a onda refletida que queremos encontrar.
Passo 4
Na região , onde , a energia efetiva da partícula é . Portanto, o número de onda nessa região, que chamaremos de , é dado por:
A função de onda nessa região pode ser escrita como uma combinação de ondas que se movem para a direita e para a esquerda:
Passo 5
Na região , o potencial é infinito, o que significa que a função de onda deve ser zero nessa região:
Isso nos dá uma condição de contorno importante na posição .
Passo 6
Agora, aplicamos as condições de continuidade da função de onda e da sua derivada nas fronteiras e . Isso nos fornece um sistema de equações que podemos resolver para encontrar , a amplitude da onda refletida.
Primeiro, em :
E para as derivadas:
Passo 7
Em , a função de onda na região do meio deve ser igual a zero na região da direita:
E para as derivadas:
Isso implica que .
Passo 8
Substituindo nas equações anteriores e resolvendo o sistema, encontramos uma relação entre e . Após simplificações, a amplitude da onda refletida é dada por:
Passo 9
Finalmente, a função de onda refletida completa leva em conta a posição e a interação com o potencial. Assim, a onda refletida é:
Resposta
Física - David J. Griffiths - Mecânica Quântica - 2ª Edição - Capítulo 11.3 - Ex. Problema 11.5a