Calcule a seção de choque total para o espalhamento de um potencial de Yukawa na aproximação de Born. Expresse sua resposta como uma função de .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a seção de choque total para o espalhamento de um potencial de Yukawa usando a aproximação de Born. Isso envolve conhecimentos de mecânica quântica, especificamente de teoria de espalhamento e potenciais. Vamos precisar usar a fórmula da seção de choque na aproximação de Born e as propriedades do potencial de Yukawa.
Passo 2
A seção de choque total na aproximação de Born é dada por:
Onde é a seção de choque diferencial, que na aproximação de Born está relacionada ao potencial através da transformada de Fourier:
Aqui, é o vetor transferência de momento, é a massa da partícula, e é a transformada de Fourier do potencial .
Passo 3
Para o potencial de Yukawa, a transformação de Fourier é conhecida e dada por:
Onde é a constante de acoplamento e está relacionada ao alcance do potencial. Substituindo isso na expressão da seção de choque diferencial:
Passo 4
Agora, para obter a seção de choque total, vamos integrar sobre todos os ângulos sólidos:
Em coordenadas esféricas, e , onde está relacionado à energia pela relação .
Passo 5
Substituindo na integral e realizando a mudança de variável, a integral se simplifica para:
Passo 6
Expressando em termos da energia , onde , temos . Substituindo isso na expressão anterior:
Resposta
Finalmente, a seção de choque total em função da energia é:
Física - David J. Griffiths - Mecânica Quântica - 2ª Edição - Capítulo 11.3 - Ex. Problema 11.12