(a) Calcule os autovalores e autospinores de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular os autovalores e autospinores do operador . Isso está dentro da matéria de Mecânica Quântica, mais especificamente na parte que trata dos operadores de spin. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar o operador de spin na direção y e, em seguida, encontrar seus autovalores e autospinores, que são, respectivamente, os valores próprios e os vetores próprios desse operador.

Passo 2

Primeiro, precisamos representar o operador de spin . Para partículas com spin 1/2, como o elétron, usamos as matrizes de Pauli. O operador de spin na direção y é dado por:
Aqui, é a constante de Planck reduzida, e é a matriz de Pauli na direção y.

Passo 3

Agora, queremos encontrar os autovalores ( ) dessa matriz. Para isso, resolvemos a equação característica:
Substituindo e (a matriz identidade), temos:
Isso simplifica para:
Calculando o determinante:

Passo 4

Resolvendo a equação , encontramos os autovalores:
Então, os autovalores de são e .

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autospinores correspondentes a cada autovalor. Para isso, resolvemos:
Começando com :
Resolvendo o sistema:
Simplificando:
Isso nos dá que . Podemos escolher , então .
Portanto, um autospinor para é:

Passo 6

Fazendo o mesmo para :
Resolvendo o sistema:
Simplificando:
Isso nos dá que . Podemos escolher , então .
Portanto, um autospinor para é:

Resposta

Os autovalores de são e , com os respectivos autospinores:
Para :
Para :

Exercícios de Livros Relacionados