(a) Calcule os autovalores e autospinores de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular os autovalores e autospinores do operador
. Isso está dentro da matéria de Mecânica Quântica, mais especificamente na parte que trata dos operadores de spin. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar o operador de spin na direção y e, em seguida, encontrar seus autovalores e autospinores, que são, respectivamente, os valores próprios e os vetores próprios desse operador.
Passo 2
Primeiro, precisamos representar o operador de spin
. Para partículas com spin 1/2, como o elétron, usamos as matrizes de Pauli. O operador de spin na direção y é dado por:
Aqui,
é a constante de Planck reduzida, e
é a matriz de Pauli na direção y.
Passo 3
Agora, queremos encontrar os autovalores (
) dessa matriz. Para isso, resolvemos a equação característica:
Substituindo
e
(a matriz identidade), temos:
Isso simplifica para:
Calculando o determinante:
Passo 4
Resolvendo a equação
, encontramos os autovalores:
Então, os autovalores de
são
e
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar os autospinores correspondentes a cada autovalor. Para isso, resolvemos:
Começando com
:
Resolvendo o sistema:
Simplificando:
Isso nos dá que
. Podemos escolher
, então
.
Portanto, um autospinor para
é:
Passo 6
Fazendo o mesmo para
:
Resolvendo o sistema:
Simplificando:
Isso nos dá que
. Podemos escolher
, então
.
Portanto, um autospinor para
é:
Resposta
Os autovalores de
são
e
, com os respectivos autospinores:
Para
:
Para
: