Construa a matriz S representando a componente do momento angular de spin ao longo de uma direção arbitrária . Use coordenadas esféricas, para as quais
Calcule os autovalores e autospinores (normalizados) de . Responda:
Nota: você é sempre livre para multiplicar por um fator de fase arbitrário - , por exemplo -, portanto, sua resposta pode não se parecer exatamente com a minha.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente construir a matriz que representa a componente do momento angular de spin ao longo de uma direção arbitrária . A gente vai usar coordenadas esféricas, onde é dado por:
Depois, precisamos calcular os autovalores e os autospinores (normalizados) dessa matriz . Pra isso, vamos usar os conceitos de matrizes de Pauli e álgebra de matrizes em mecânica quântica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o operador de spin pode ser escrito em termos das matrizes de Pauli :
Como estamos trabalhando com unidades onde para simplificar, fica:

Passo 3

Agora, queremos a componente do spin ao longo da direção . Isso significa que vamos projetar nessa direção:

Passo 4

Vamos substituir as matrizes de Pauli:
Substituindo na expressão de :

Passo 5

Vamos fazer as multiplicações:
Perceba que , então:

Passo 6

Agora, vamos encontrar os autovalores e autospinores dessa matriz. Sabemos que para matrizes de desse tipo, os autovalores são .
Para encontrar os autospinores, resolvemos , onde é o autovalor.

Passo 7

Começando com :
Resolvendo o sistema, encontramos que o autospinor correspondente é:

Passo 8

Para , fazemos um processo parecido:

Resposta

Então, a matriz é:
E os autovalores e autospinores normalizados são:

Exercícios de Livros Relacionados