Construa a matriz S representando a componente do momento angular de spin ao longo de uma direção arbitrária
. Use coordenadas esféricas, para as quais
Calcule os autovalores e autospinores (normalizados) de
. Responda:
Nota: você é sempre livre para multiplicar por um fator de fase arbitrário -
, por exemplo -, portanto, sua resposta pode não se parecer exatamente com a minha.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente construir a matriz
que representa a componente do momento angular de spin ao longo de uma direção arbitrária
. A gente vai usar coordenadas esféricas, onde
é dado por:
Depois, precisamos calcular os autovalores e os autospinores (normalizados) dessa matriz
. Pra isso, vamos usar os conceitos de matrizes de Pauli e álgebra de matrizes em mecânica quântica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o operador de spin
pode ser escrito em termos das matrizes de Pauli
:
Como estamos trabalhando com unidades onde
para simplificar, fica:
Passo 3
Agora, queremos a componente do spin ao longo da direção
. Isso significa que vamos projetar
nessa direção:
Passo 4
Vamos substituir as matrizes de Pauli:
Substituindo na expressão de
:
Passo 5
Vamos fazer as multiplicações:
Perceba que
, então:
Passo 6
Agora, vamos encontrar os autovalores e autospinores dessa matriz. Sabemos que para matrizes de
desse tipo, os autovalores são
.
Para encontrar os autospinores, resolvemos
, onde
é o autovalor.
Passo 7
Começando com
:
Resolvendo o sistema, encontramos que o autospinor correspondente é:
Passo 8
Para
, fazemos um processo parecido:
Resposta
Então, a matriz
é:
E os autovalores e autospinores normalizados são: