(b) Se você mediu em uma partícula no estado geral (Equação 4.139), quais valores você poderá obter e qual é a probabilidade para cada um? Verifique que as probabilidades somadas são igual a 1. Nota: e não precisam ser reais!

Passo 1

Então, a gente tem uma partícula que está em um estado geral chamado , conforme a Equação 4.139. A pergunta aqui é: se a gente medir o operador de spin na direção y, , quais valores a gente pode obter e qual a probabilidade de cada um desses valores ocorrer? Pra resolver isso, vamos precisar entender como funciona a medição de spin em uma direção diferente da que o estado está originalmente definido, e saber trabalhar com estados quânticos e operadores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que o operador de spin na direção y, , tem dois valores próprios possíveis: e . Isso significa que quando a gente mede , o resultado só pode ser um desses dois valores.

Passo 3

Agora, precisamos expressar o estado geral em termos dos autovetores de . Sabemos que os autovetores de são:
Então, o estado pode ser escrito como uma combinação linear desses autovetores:

Passo 4

As probabilidades de obter cada valor próprio ao medir são dadas pelo quadrado do módulo dos coeficientes e . Ou seja:
Essas probabilidades representam a chance de a medição resultar em ou , respectivamente.

Passo 5

Para garantir que essas probabilidades são válidas, precisamos verificar se a soma delas é igual a 1. Como é um estado normalizado, temos:
Isso confirma que as probabilidades somam 1, como esperado para qualquer distribuição de probabilidades.

Resposta

Ao medir no estado , os valores possíveis são e . A probabilidade de obter é e a probabilidade de obter é . Além disso, , garantindo que as probabilidades somam 1.

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