(b) Se você mediu
em uma partícula no estado geral
(Equação 4.139), quais valores você poderá obter e qual é a probabilidade para cada um? Verifique que as probabilidades somadas são igual a 1. Nota:
e
não precisam ser reais!
Passo 1
Então, a gente tem uma partícula que está em um estado geral chamado
, conforme a Equação 4.139. A pergunta aqui é: se a gente medir o operador de spin na direção y,
, quais valores a gente pode obter e qual a probabilidade de cada um desses valores ocorrer? Pra resolver isso, vamos precisar entender como funciona a medição de spin em uma direção diferente da que o estado está originalmente definido, e saber trabalhar com estados quânticos e operadores.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que o operador de spin na direção y,
, tem dois valores próprios possíveis:
e
. Isso significa que quando a gente mede
, o resultado só pode ser um desses dois valores.
Passo 3
Agora, precisamos expressar o estado geral
em termos dos autovetores de
. Sabemos que os autovetores de
são:
Então, o estado
pode ser escrito como uma combinação linear desses autovetores:
Passo 4
As probabilidades de obter cada valor próprio ao medir
são dadas pelo quadrado do módulo dos coeficientes
e
. Ou seja:
Essas probabilidades representam a chance de a medição resultar em
ou
, respectivamente.
Passo 5
Para garantir que essas probabilidades são válidas, precisamos verificar se a soma delas é igual a 1. Como
é um estado normalizado, temos:
Isso confirma que as probabilidades somam 1, como esperado para qualquer distribuição de probabilidades.
Resposta
Ao medir
no estado
, os valores possíveis são
e
. A probabilidade de obter
é
e a probabilidade de obter
é
. Além disso,
, garantindo que as probabilidades somam 1.