Um elétron está no estado de spin
© Calcule as ‘incertezas’ e . (Nota: esses sigmas são desvios-padrão, e não matrizes de Pauli!)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos um elétron em um determinado estado de spin representado pelo vetor
A matéria envolvida aqui é a mecânica quântica, especificamente o estudo dos estados de spin e das incertezas (desvios-padrão) associadas às componentes do spin. Para resolver isso, vamos precisar normalizar o vetor de estado e depois calcular as incertezas para as componentes e .

Passo 2

Primeiro, vamos normalizar o vetor de estado. Isso significa que a soma dos quadrados dos módulos dos componentes deve ser 1. Vamos calcular o valor de :
Para que :
Então, .

Passo 3

Agora que temos , podemos escrever o vetor de estado normalizado:

Passo 4

Vamos calcular as expectativas , e . Para isso, precisamos usar as matrizes de spin correspondentes.
As matrizes de Pauli são:
E os operadores de spin são .

Passo 5

Primeiro, vamos calcular :
Calculando:
Então,
Agora,
Portanto,

Passo 6

Agora, vamos calcular e da mesma forma.
Para :
Calculando :
Então,
Portanto,
Para :
Calculando :
Então,
Portanto,

Passo 7

Agora que temos as expectativas, vamos calcular os desvios-padrão e . A fórmula para o desvio-padrão é:
Vamos calcular . Como para partículas de spin-½, , onde é a identidade. Então:
Porque .

Passo 8

Agora, aplicando a fórmula do desvio-padrão para cada componente:
Para :
Para :
Para :

Resposta

As incertezas são:

Exercícios de Livros Relacionados