Um elétron está no estado de spin
© Calcule as ‘incertezas’
e
. (Nota: esses sigmas são desvios-padrão, e não matrizes de Pauli!)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos um elétron em um determinado estado de spin representado pelo vetor
A matéria envolvida aqui é a mecânica quântica, especificamente o estudo dos estados de spin e das incertezas (desvios-padrão) associadas às componentes do spin. Para resolver isso, vamos precisar normalizar o vetor de estado e depois calcular as incertezas para as componentes
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos normalizar o vetor de estado. Isso significa que a soma dos quadrados dos módulos dos componentes deve ser 1. Vamos calcular o valor de
:
Para que
:
Então,
.
Passo 3
Agora que temos
, podemos escrever o vetor de estado normalizado:
Passo 4
Vamos calcular as expectativas
,
e
. Para isso, precisamos usar as matrizes de spin correspondentes.
As matrizes de Pauli são:
E os operadores de spin são
.
Passo 5
Primeiro, vamos calcular
:
Calculando:
Então,
Agora,
Portanto,
Passo 6
Agora, vamos calcular
e
da mesma forma.
Para
:
Calculando
:
Então,
Portanto,
Para
:
Calculando
:
Então,
Portanto,
Passo 7
Agora que temos as expectativas, vamos calcular os desvios-padrão
e
. A fórmula para o desvio-padrão é:
Vamos calcular
. Como para partículas de spin-½,
, onde
é a identidade. Então:
Porque
.
Passo 8
Agora, aplicando a fórmula do desvio-padrão para cada componente:
Para
:
Para
:
Para
:
Resposta
As incertezas são: