Construa as matrizes de spin ( e ) para uma partícula de spin 1. Dica: quantos autoestados de há? Determine a ação de e em cada um desses estados. Siga o procedimento usado no texto para o spin 1/2.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente construir as matrizes de spin , e para uma partícula com spin 1. Isso faz parte da disciplina de Mecânica Quântica, especificamente no estudo dos operadores de spin. Para resolver, vamos precisar entender quantos autoestados existem para e como os operadores e atuam nesses estados, seguindo um método similar ao usado para o spin .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o spin de uma partícula é uma propriedade intrínseca, e para o spin 1, o número de autoestados de é . Isso significa que tem três valores próprios possíveis: .
Passo 3
Agora, vamos definir os autoestados de como , e , correspondendo aos valores próprios respectivamente. Esses estados formam a base em que vamos construir as matrizes de spin.
Passo 4
Os operadores de subida e de descida são usados para mover entre esses estados. A ação deles é dada por:
Para , vamos calcular essas ações para cada estado.
Passo 5
Vamos calcular :
Agora, :
E , já que não há estado com para spin 1.
Passo 6
De forma similar, vamos calcular :
E , já que não há estado com .
Passo 7
Agora, podemos montar as matrizes e na base :
Passo 8
Agora, para obter e , usamos as relações:
Vamos calcular essas somas e diferenças das matrizes.
Passo 9
Calculando :
E :
Passo 10
Por fim, temos a matriz , que já está na base escolhida:
Resposta
As matrizes de spin para uma part��cula de spin 1 são:
Física - David J. Griffiths - Mecânica Quântica - 2ª Edição - Capítulo 4.4 - Ex. Problema 4.31