Calcule o campo elétrico gerado por um anel de raio
, com uma carga
uniformemente distribuída em seu corpo, em um ponto sobre o eixo do anel e à distância
do seu centro.
Passo 1
Beleza, temos um anel com raio
e uma carga total
distribuída de forma uniforme nele. A questão é calcular o campo elétrico que esse anel gera em um ponto localizado ao longo do eixo do anel, a uma distância
do centro. Vamos precisar usar conceitos de campo elétrico, distribuição de carga e as leis de Coulomb para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o cenário. Imagine um anel circular carregado uniformemente com raio
. Queremos saber qual é o campo elétrico em um ponto que está no eixo do anel, ou seja, uma linha que passa pelo centro do anel perpendicular à sua superfície, e a uma distância
desse centro.
Passo 3
Para calcular o campo elétrico nesse ponto, vamos considerar um pequeno pedaço de carga no anel, digamos
. Segundo a Lei de Coulomb, o campo elétrico gerado por essa carga
em um ponto distante
é:
onde
é a constante de Coulomb e
é o vetor unitário na direção de
.
Passo 4
Agora, precisamos considerar a geometria do problema. O ponto onde estamos calculando o campo está ao longo do eixo do anel. Devido à simetria, as componentes horizontais (perpendiculares ao eixo) dos campos gerados por elementos de carga opostos no anel vão se cancelar. Portanto, só precisamos considerar a componente vertical (ao longo do eixo) de cada
.
Passo 5
A distância
do elemento de carga
ao ponto é a hipotenusa de um triângulo com lados
e
. Então, temos:
A componente vertical do campo gerado por
é:
Passo 6
Para encontrar o campo total
, integramos
sobre todo o anel. Como a carga é uniforme, podemos escrever
. A integral fica:
Resposta
O campo elétrico no ponto sobre o eixo do anel a uma distância
do centro é dado por: