Calcule o campo elétrico gerado por um anel de raio , com uma carga uniformemente distribuída em seu corpo, em um ponto sobre o eixo do anel e à distância do seu centro.

Passo 1

Beleza, temos um anel com raio e uma carga total distribuída de forma uniforme nele. A questão é calcular o campo elétrico que esse anel gera em um ponto localizado ao longo do eixo do anel, a uma distância do centro. Vamos precisar usar conceitos de campo elétrico, distribuição de carga e as leis de Coulomb para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o cenário. Imagine um anel circular carregado uniformemente com raio . Queremos saber qual é o campo elétrico em um ponto que está no eixo do anel, ou seja, uma linha que passa pelo centro do anel perpendicular à sua superfície, e a uma distância desse centro.

Passo 3

Para calcular o campo elétrico nesse ponto, vamos considerar um pequeno pedaço de carga no anel, digamos . Segundo a Lei de Coulomb, o campo elétrico gerado por essa carga em um ponto distante é:
onde é a constante de Coulomb e é o vetor unitário na direção de .

Passo 4

Agora, precisamos considerar a geometria do problema. O ponto onde estamos calculando o campo está ao longo do eixo do anel. Devido à simetria, as componentes horizontais (perpendiculares ao eixo) dos campos gerados por elementos de carga opostos no anel vão se cancelar. Portanto, só precisamos considerar a componente vertical (ao longo do eixo) de cada .

Passo 5

A distância do elemento de carga ao ponto é a hipotenusa de um triângulo com lados e . Então, temos:
A componente vertical do campo gerado por é:

Passo 6

Para encontrar o campo total , integramos sobre todo o anel. Como a carga é uniforme, podemos escrever . A integral fica:

Resposta

O campo elétrico no ponto sobre o eixo do anel a uma distância do centro é dado por:

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